Giải mục 4 trang 102, 103 SGK Toán 11 tập 2 - Cánh Diều

Hoạt động 3

Trong Hình 67, thanh gỗ dọc phía trên các cột và mặt đường hành lang gợi nên hình ảnh đường thẳng $\mathrm{\Delta }$ và mặt phẳng $\left(P\right)$ song song với nhau, chiều cao của chiếc cột có đỉnh cột $A$ là khoảng cách từ điểm $A$ đến mặt phẳng $\left(P\right)$.

a) Khoảng cách từ điểm $A$ đến mặt phẳng $\left(P\right)$ có phụ thuộc vào vị trí của điểm $A$ trên đường thẳng $\mathrm{\Delta }$ hay không? Vì sao?

b) Khoảng cách đó gợi nên khái niệm nào trong hình học liên quan đến đường thẳng $\mathrm{\Delta }$ và mặt phẳng $\left(P\right)$?

Phương pháp giải:

Sử dụng tính chất của đường thẳng và mặt phẳng song song.

Lời giải chi tiết:

a) Trên đường thẳng $\mathrm{\Delta }$ lấy điểm $B$ khác $A$.

Kẻ $AH\mathrm{\perp }\left(P\right),BK\mathrm{\perp }\left(P\right)\left(H,K\in \left(P\right)\right)$

$\Rightarrow ABKH$ là hình chữ nhật $\Rightarrow AH=BK$

$\Rightarrow d\left(A,\left(P\right)\right)=d\left(B,\left(P\right)\right)$

Vậy khoảng cách từ điểm $A$ đến mặt phẳng $\left(P\right)$ không phụ thuộc vào vị trí của điểm $A$ trên đường thẳng $\mathrm{\Delta }$.

b) Khoảng cách đó gợi nên khái niệm khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song.

Luyện tập 3

Cho hình chóp $S.ABC$ có $SA=a$, góc giữa $SA$ và $mp\left(ABC\right)$ là ${60}^{\circ }$. Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm của cạnh $SA$ và $SB$. Chứng minh $MN\parallel \left(ABC\right)$ và tính $d\left(MN,\left(ABC\right)\right)$.

Phương pháp giải:

‒ Cách chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng: Chứng minh đường thẳng đó song song với một đường thẳng nằm trên mặt phẳng.

‒ Cách tính khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song: Tính khoảng cách từ một điểm trên đường thẳng đến mặt phẳng.

Lời giải chi tiết:

Ta có: $M$ là trung điểm của $SA$

$N$ là trung điểm của $SB$

$\Rightarrow MN$ là đường trung bình của $\mathrm{\Delta }SAB$

$\begin{array}{l}\Rightarrow MN\parallel AB\\ AB\subset \left(ABC\right)\end{array}\}\Rightarrow MN\parallel \left(ABC\right)$

$\Rightarrow d\left(MN,\left(ABC\right)\right)=d\left(M,\left(ABC\right)\right)$

Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của $S$ lên $\left(ABC\right)$$\Rightarrow SH\mathrm{\perp }\left(ABC\right)$

Qua $M$ kẻ đường thẳng song song với $SH$, cắt $\left(ABC\right)$ tại $K$

$\Rightarrow K\in AH,MK\mathrm{\perp }\left(ABC\right)\Rightarrow d\left(M,\left(ABC\right)\right)=MK$

$\begin{array}{l}SH\mathrm{\perp }\left(ABC\right)\Rightarrow \left(SA,\left(ABC\right)\right)=\left(SA,HA\right)=\widehat{SAH}={60}^{\circ }\\ \Rightarrow SH=SA.\sin \widehat{SAH}=\frac{a\sqrt{3}}{2}\end{array}$

$M$ là trung điểm của $SA$, $MK\parallel SH$

$\Rightarrow MK$ là đường trung bình của $\mathrm{\Delta }SAH$

$\Rightarrow MK=\frac{1}{2}AH=\frac{a\sqrt{3}}{4}$

Vậy $d\left(MN,\left(ABC\right)\right)=\frac{a\sqrt{3}}{4}$