Giải mục 2 trang 108, 109, 110, 111 SGK Toán 11 tập 2 - Cánh Diều

Hoạt động 2

Để tạo mô hình một tháp chuông ở Hình 83a từ một tấm bìa hình vuông, bạn Dũng cắt bỏ phần màu trắng gồm bốn tam giác cân bằng nhau có đáy là các cạnh của tấm bìa (Hình 83b) rồi gấp lại phần màu xanh để tạo thành một hình chóp tứ giác. Quan sát Hình 83a, 83b và cho biết:

a) Đáy của hình chóp mà bạn Dũng tạo ra là tứ giác có tính chất gì;

b) Các cạnh bên của hình chóp đó có bằng nhau hay không.

Phương pháp giải:

Quan sát hình ảnh và trả lời câu hỏi.

Lời giải chi tiết:

a) Đáy của hình chóp mà bạn Dũng tạo ra là hình vuông.

b) Các cạnh bên của hình chóp đó bằng nhau.

Luyện tập 2

Cho hình chóp tam giác đều $S.ABC$. Chứng minh rằng các cạnh bên tạo với mặt phẳng chứa đáy các góc bằng nhau.

Phương pháp giải:

Cách tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng: Tính góc giữa đường thẳng đó và hình chiếu của nó lên mặt phẳng.

Lời giải chi tiết:

Gọi $O$ là trọng tâm tam giác $ABC$.

$\begin{array}{l}\Rightarrow SO\mathrm{\perp }\left(ABC\right)\\ \Rightarrow \left(SA,\left(ABC\right)\right)=\left(SA,OA\right)=\widehat{SAO},\\ \left(SB,\left(ABC\right)\right)=\left(SB,OB\right)=\widehat{SBO},\\ \left(SC,\left(ABC\right)\right)=\left(SC,OC\right)=\widehat{SCO}\end{array}$

Tam giác $ABC$ đều $\Rightarrow OA=OB=OC$.

$\begin{array}{l}SA=SB=SC\Rightarrow \frac{OA}{SA}=\frac{OB}{SB}=\frac{OC}{SC}\Rightarrow \cos \widehat{SAO}=\cos \widehat{SBO}=\mathrm{co}\widehat{sSCO}\\ \Rightarrow \left(SA,\left(ABC\right)\right)=\left(SB,\left(ABC\right)\right)=\left(SC,\left(ABC\right)\right)\end{array}$

Hoạt động 3

Khối bê tông ở Hình 87a gợi nên hình ảnh một hình chóp bị cắt đi bởi mặt phẳng $\left(R\right)$ song song với đáy. Hình 87b là hình biểu diễn của khối bê tông ở Hình 87a. Hãy dự đoán về mối quan hệ giữa các đường thẳng chứa các cạnh $A_1{B}_1,A_2{B}_2,A_3{B}_3,A_4{B}_4$.

Phương pháp giải:

Quan sát hình ảnh và trả lời câu hỏi.

Lời giải chi tiết:

Các đường thẳng chứa các cạnh $A_1{B}_1,A_2{B}_2,A_3{B}_3,A_4{B}_4$ đồng quy tại một điểm.

Luyện tập 3

Cho hình chóp đều $S.ABC$. Gọi $A^{\prime },B^{\prime },C^{\prime }$ lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng $SA,SB,SC$. Chứng minh rằng phần hình chóp đã cho giới hạn bởi hai mặt phẳng $\left(ABC\right)$ và $\left(A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }\right)$ là hình chóp cụt đều.

Phương pháp giải:

Ta cần chứng minh hai mặt phẳng $\left(ABC\right)$ và $\left(A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }\right)$ song song với nhau.

Lời giải chi tiết:

$A^{\prime }$ là trung điểm của $SA$

$B^{\prime }$ là trung điểm của $SB$

$\Rightarrow A^{\prime }{B}^{\prime }$ là đường trung bình của $\mathrm{\Delta }SAB$

$\begin{array}{l}\Rightarrow A^{\prime }{B}^{\prime }\parallel AB\\ AB\subset \left(ABC\right)\end{array}\}\Rightarrow A^{\prime }{B}^{\prime }\parallel \left(ABC\right)$

$A^{\prime }$ là trung điểm của $SA$

$C^{\prime }$ là trung điểm của $SC$

$\Rightarrow A^{\prime }{C}^{\prime }$ là đường trung bình của $\mathrm{\Delta }SAC$

$\begin{array}{l}\Rightarrow A^{\prime }{C}^{\prime }\parallel AC\\ AC\subset \left(ABC\right)\end{array}\}\Rightarrow A^{\prime }{C}^{\prime }\parallel \left(ABC\right)$

$\begin{array}{l}{A}^{\prime }{B}^{\prime }\parallel \left(ABC\right)\\ A^{\prime }{C}^{\prime }\parallel \left(ABC\right)\\ A^{\prime }{B}^{\prime },A^{\prime }{C}^{\prime }\subset \left(A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }\right)\end{array}\}\Rightarrow \left(A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }\right)\parallel \left(ABC\right)$

Vậy phần hình chóp đã cho giới hạn bởi hai mặt phẳng $\left(ABC\right)$ và $\left(A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }\right)$ là hình chóp cụt đều.