Giải mục 2 trang 50, 51 SGK Toán 11 tập 1 - Cùng khám phá

Hoạt động 2

Cho một cấp số cộng $\left(u_n\right)$có số hạng đầu $u_1$ và công sai $d$.

a) Biểu diễn $u_2,u_3,u_4,u_5$ theo $u_1$ và $d$.

b) Hãy dự đoán công thức tính $u_{10},u_{100}$ theo $u_1$ và $d$.

Phương pháp giải:

Áp dụng công thức $u_{n+1}=u_n+d$.

Lời giải chi tiết:

a) Ta có:

$\begin{array}{l}{u}_2=u_1+d;\\ u_3=u_2+d=u_1+2d;\\ u_4=u_3+d=u_1+3d;\\ u_5=u_4+d=u_1+4d.\end{array}$

b) Dự đoán công thức tính $u_{10},u_{100}$ theo $u_1$ và $d$ là: $u_{10}=u_1+9d;u_{100}=u_1+99d$.

Luyện tập 2

Kiến vàng là loài kiến có lợi trong nông học, sinh học. Nó giúp nhà nông ngăn ngừa côn trùng, giảm sử dụng các loại thuốc trừ sâu. Ở đồng bằng sông Cửu Long, nhà nông thường tách đàn kiến sang cây trồng khác để bảo vệ cây. Giả sử một đàn kiến vàng có 4 000 con vào đầu tháng 6 năm 2018, mỗi tháng đàn kiến tăng thêm 900 con. Một nhà nông muốn tách đàn khi đàn kiến đạt khoảng 20 000 con. Đến thời điểm nào người đó có thể tách đàn?

Phương pháp giải:

Dựa theo đề bài, xác định $u_1,d,u_n$. Áp dụng công thức $u_n=u_1+\left(n-1\right)d$ để tìm n.

Lời giải chi tiết:

Lời giải

Theo đề bài, mỗi thàng đàn kiến tăng thêm 900 con thì lập thành cấp số cộng với công sai $d=900$.

Đàn kiến vàng có 4 000 con vào đầu tháng 6 năm 2018 thì $u_1=4000$.

Gọi n là thời gian để đàn kiến đạt khoảng 20000 con nên $u_n=20000$. Ta có:

$\begin{array}{l}{u}_n=u_1+(n-1)d\iff 20000=4000+900\left(n-1\right)\\ \iff n-1=\frac{160}{9}\iff n\approx 19\end{array}$

Vậy đến tháng 1 năm 2020 thì đàn kiến có thể tách đàn.