Giải mục 3 trang 5, 6 SGK Toán 11 tập 2 - Cùng khám phá

Hoạt động 4

Ở lớp dưới, ta đã biết số $\sqrt{2}$ là một số vô tỉ được biểu diễn dưới dạng số thập phân vô hạn không tuần hoàn: $\sqrt{2}$ = 1,414213562... Gọi $r_n$ là số hữu tỉ được tạo thành từ n chữ số đầu tiên dùng để viết $\sqrt{2}$ ở dạng thập phân, n = 1, 2,..., 10,...

a) Sử dụng máy tính cầm tay, hãy tìm các số $5^{r_n}$ tương ứng (với 9 chữ số thập phân) cho mỗi dấu "?" trong bảng bên phải. Người ta chứng minh được rằng khi $n\to +\mathrm{\infty }$ thì dãy số ($5^{r_n}$) dần đến một giới hạn mà ta kí hiệu là $5^{\sqrt{2}}$.

b) Sử dụng máy tính cầm tay, tính $5^{\sqrt{2}}$ (với 9 chữ số thập phân).

Phương pháp giải:

Sử dụng máy tính cầm tay.

Lời giải chi tiết:

a,

b) $5^{\sqrt{2}}\approx 9,738517742$

Luyện tập 3

Rút gọn biểu thức $\frac{{\left(a^{\sqrt{3}-1}\right)}^{\sqrt{3}+1}}{a^{\sqrt{5}-3}.a^{4-\sqrt{5}}}\left(a>0\right)$.

Phương pháp giải:

Áp dụng: ${\left(a^n\right)}^m=a^{n.m};a^n.a^m=a^{n+m}$

Lời giải chi tiết:

Ta có: $\frac{{\left(a^{\sqrt{3}-1}\right)}^{\sqrt{3}+1}}{a^{\sqrt{5}-3}.a^{4-\sqrt{5}}}=\frac{a^{\left(\sqrt{3}-1\right)\left(\sqrt{3}+1\right)}}{a^{\sqrt{5}-3+4-\sqrt{5}}}=\frac{a^2}{a}=a$