Bài 8.11 trang 63 SGK Toán 11 tập 2 - Cùng khám phá

Đề bài

Cho hình chóp S.ABC có đáy  ABC là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu vuông góc của S trên (ABC) trùng với trung điểm H của cạnh BC và SBC là tam giác đều. Tính số đo của góc giữa SA và (ABC).

Lời giải chi tiết

Vì hình chiếu vuông góc của $S$ trên $\left(ABC\right)$ là trung điểm $H$ của $BC$ nên $SH\mathrm{\perp }\left(ABC\right)$

Vì $SH\mathrm{\perp }\left(ABC\right)$ nên $AH$ là hình chiếu vuông góc của $SA$ trên $\left(ABC\right)$

Vậy góc giữa $SA$ và $\left(ABC\right)$ là góc giữa $SA$ và $AH$, góc giữa $SA$ và $AH$ là góc $\widehat{SAH}$

Vì $\mathrm{\Delta }ABC$ là tam giác đều cạnh $a$ suy ra đường trung tuyến $AH$ nên $AH=\frac{a\sqrt{3}}{2}$

Vì $\mathrm{\Delta }SBC$ là tam giác đều có cạnh $BC=a$ suy ra đường trung tuyến $SH=\frac{a\sqrt{3}}{2}$

Xét $\mathrm{\Delta }SAH$ vuông tại $A$ có $\tan \widehat{SAH}=\frac{SH}{AH}=\frac{a\sqrt{3}}{2}:\frac{a\sqrt{3}}{2}=1$$\Rightarrow \widehat{SAH}={45}^o$