Giải bài 1.29 trang 33 Chuyên đề học tập Toán 11 Kết nối tri thức

Đề bài

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn (C): x² + y² – 2x – 4y – 4 = 0. Viết phương trình của đường tròn (C') là ảnh của đường tròn (C) qua phép đối xứng tâm A(3; – 3).

Lời giải chi tiết

Ta có $\left(C\right):x^2+y^2-2x-4y-4=0\iff x^2+y^2-2.1x-2.2y-4=0.$

Suy ra đường tròn (C) có tâm I(1; 2) và bán kính $R=\sqrt{1^2+2^2-\left(-4\right)}=3$.

Gọi I' và R' lần lượt là tâm và bán kính của đường tròn (C'). Vì (C') là ảnh của (C) qua phép đối xứng tâm A(3; – 3) nên I' là ảnh của I qua phép đối xứng tâm A(3; – 3) và R' = R = 3.

Vì I' là ảnh của I qua phép đối xứng tâm A nên A là trung điểm của II'.

Suy ra $\{\begin{array}{l}{x}_{I^{\prime }}=2x_A-x_I=2.3-1=5\\ y_{I^{\prime }}=2y_A-y_I=2.\left(-3\right)-2=-8\end{array}$nên I'(5; – 8).

Vậy phương trình đường tròn (C') là

${\left(x-5\right)}^2+{\left[y-\left(-8\right)\right]}^2=3^2\iff {\left(x-5\right)}^2+{\left(y+8\right)}^2=9.$