Giải mục 2 trang 12, 13 Chuyên đề học tập Toán 11 - Chân trời sáng tạo

Khám phá 2

Cho vectơ $\overrightarrow{u}$ và đường thẳng d. A và M là hai điểm bất kì trên d. Gọi A’ và M’ lần lượt là ảnh của A và M qua phép tịnh tiến ${\mathrm{T}}_{\overrightarrow{\mathrm{u}}}$.

a) Hai vectơ ‘ có bằng nhau không?

b) Khi điểm M thay đổi trên d thì điểm M’ thay đổi như thế nào? Giải thích.

Phương pháp giải:

Hai vectơ được gọi là bằng nhau nếu chúng cùng hướng và cùng độ dài.

Lời giải chi tiết:

a) Ta có ${\mathrm{T}}_{\overrightarrow{\mathrm{u}}}\left(\mathrm{A}\right)={\mathrm{A}}^{\prime }$, suy ra $\overrightarrow{A{A}^{\prime }}=\overrightarrow{\mathrm{u}}$.

             ${\mathrm{T}}_{\overrightarrow{\mathrm{u}}}\left(\mathrm{M}\right)={\mathrm{M}}^{\prime }$, suy ra $\overrightarrow{M{M}^{\prime }}=\overrightarrow{\mathrm{u}}$.

Khi đó $\overrightarrow{A{A}^{\prime }}=\overrightarrow{M{M}^{\prime }}\left(=\overrightarrow{\mathrm{u}}\right)$.

Suy ra AA’ = MM’ và AA’ // MM’.

Vì vậy tứ giác AMM’A’ là hình bình hành.

Vậy $\overrightarrow{{\mathrm{A}}^{\prime }{\mathrm{M}}^{\prime }}=\overrightarrow{AM}$.

b) Gọi d’ là giá của $\overrightarrow{{\mathrm{A}}^{\prime }{\mathrm{M}}^{\prime }}$.

Vì A’M’ // AM (do tứ giác AMM’A’ là hình bình hành).

Nên d’ // d.

Vậy khi điểm M thay đổi trên d thì điểm M’ thay đổi trên d’ thỏa mãn $\overrightarrow{M{M}^{\prime }}=\overrightarrow{\mathrm{u}}$.

Thực hành 2

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, xét phép tịnh tiến $T_{\overrightarrow{v}}$ với $\overrightarrow{v}=(3;2).$

a) Biết ảnh của điểm M qua $T_{\overrightarrow{v}}$ là điểm M’(–8; 5). Tìm tọa độ điểm M.

b) Tìm ảnh của đường tròn $\left(C\right):{\left(x-2\right)}^2+{\left(y+3\right)}^2=4$qua $T_{\overrightarrow{v}}$.

Phương pháp giải:

Cho vectơ $\overrightarrow{u}$, phép tịnh tiến theo vectơ $\overrightarrow{u}$ là phép biến hình biến điểm M thành  điểm M’ sao cho $\overrightarrow{M{M}^{\prime }}=\overrightarrow{u}$.

Nếu $M^{\prime }(x^{\prime };y^{\prime })$ là ảnh của $M(x;y)$ qua phép tịnh tiến $T_{\overrightarrow{u}}$ , $\overrightarrow{u}=\left(a;b\right)$ thì biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến là $\{\begin{array}{l}{x}^{\prime }=x+a\\ y^{\prime }=y+b\end{array}$

Lời giải chi tiết:

a) Đặt $M\left(x;y\right).$Suy ra $\overrightarrow{M{M}^{\prime }}=(-8-x;5-y).$

Theo đề, ta có $M^{\prime }=T_{\overrightarrow{v}}(M).$.

Suy ra $\overrightarrow{M{M}^{\prime }}=\overrightarrow{v}.$.

Khi đó $\{\begin{array}{l}-8-x=3\\ 5-y=2\end{array}$

Vì vậy $\{\begin{array}{l}x=-11\\ y=3\end{array}$

Vậy tọa độ M(–11; 3) thỏa mãn yêu cầu bài toán.

b) Đường tròn (C) có tâm I(2; –3), bán kính R = 4.

Gọi (C’), I’(x’; y’) lần lượt là ảnh của (C) và I qua $T_{\overrightarrow{v}}$.

Khi đó đường tròn (C’) có bán kính $R^{\prime }=R=2$ và $\overrightarrow{I{I}^{\prime }}=(x^{\prime }-2;y^{\prime }+3)$

Ta có $\overrightarrow{I{I}^{\prime }}=\overrightarrow{v}$ (vì $I^{\prime }=T_{\overrightarrow{v}}(I)$)

Suy ra $\{\begin{array}{l}{x}^{\prime }-2=3\\ y^{\prime }+3=2\end{array}$

Do đó $\{\begin{array}{l}{x}^{\prime }=5\\ y^{\prime }=-1\end{array}$

Suy ra tọa độ tâm đường tròn (C’) là $I^{\prime }\left(5;-1\right).$

Vậy ảnh của đường tròn (C) là đường tròn (C’) có phương trình là: ${\left(x-5\right)}^2+{\left(y+1\right)}^2=4.$

Vận dụng 2

Trong Hình 8, người thợ sửa xe đã dùng kích nâng thủy lực để đưa ô tô từ mặt đất đến vị trí cần thiết thông qua phép biến hình nào?

Phương pháp giải:

Quan sát hình vẽ và suy luận để trả lời

Lời giải chi tiết:

Ta thấy ô tô được nâng từ vị trí A đến vị trí B.

Khi đó chiếc xe ô tô được tịnh tiến theo vectơ $\overrightarrow{v}=\overrightarrow{AB}$  từ mặt đất lên vị trí cần thiết.

Vậy người thợ sửa xe đã dùng kích nâng thủy lực để đưa ô tô từ mặt đất đến vị trí cần thiết thông qua phép tịnh tiến theo $\overrightarrow{v}=\overrightarrow{AB}$.