Giải bài 3 trang 40 Chuyên đề học tập Toán 11 Chân trời sáng tạo

Đề bài

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn (C) tâm O bán kính R = 9 và cho điểm A khác O. Gọi (C’) là ảnh của (C) qua phép đồng dạng có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép tịnh tiến theo vectơ  $\overrightarrow{OA}$ và phép vị tự $V_{\left(O;-\frac{1}{3}\right)}$. Tìm diện tích hình tròn (C’).

Lời giải chi tiết

Phép đồng dạng có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép tịnh tiến theo $\overrightarrow{OA}$  và phép vị tự  $V_{\left(O;-\frac{1}{3}\right)}$ biến đường tròn (C) thành đường tròn (C’).

Suy ra phép đồng dạng đó có tỉ số là $k=\left|-\frac{1}{3}\right|=\frac{1}{3}$

Đường tròn (C’) có tâm O’, bán kính R’.

Suy ra O’ là ảnh của O qua phép đồng dạng tỉ số $\frac{1}{3}$

Gọi M là điểm bất kì nằm trên đường tròn (C).

Suy ra M’ là ảnh của M qua phép đồng dạng tỉ số $\frac{1}{3}$

Khi đó ta có $O^{\prime }{M}^{\prime }=\frac{1}{3}OM$

Vì vậy $R^{\prime }=\frac{1}{3}R=\frac{1}{3}.9=3$

Diện tích hình tròn (C’) là: $S_{(C^{\prime })}=\pi R{}^{\prime 2}=\pi 3^2=9\pi$

Vậy diện tích hình tròn (C’) là $9\pi$.