Giải bài 1.56 trang 28 sách bài tập toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Chứng minh các biểu thức sau không phụ thuộc vào x

a) $A=\sin \left(\frac{\pi }{4}+x\right)-\cos \left(\frac{\pi }{4}-x\right)$;           

b) $B=\cos \left(\frac{\pi }{6}-x\right)-\sin \left(\frac{\pi }{3}+x\right)$;

c) $C={\sin }^{2}x+\cos \left(\frac{\pi }{3}-x\right)\cos \left(\frac{\pi }{3}+x\right)$;               

d) $D=\frac{1-\cos 2x+\sin 2x}{1+\cos 2x+\sin 2x}.\cot x$.

Lời giải chi tiết

a) Ta có

$\begin{array}{l}A=\sin \left(\frac{\pi }{4}+x\right)-\cos \left(\frac{\pi }{4}-x\right)=\cos \left(\frac{\pi }{2}-\left(\frac{\pi }{4}+x\right)\right)-\cos \left(\frac{\pi }{4}-x\right)\\ =\cos \left(\frac{\pi }{4}-x\right)-\cos \left(\frac{\pi }{4}-x\right)=0\end{array}$

b) Ta có

$\begin{array}{l}B=\cos \left(\frac{\pi }{6}-x\right)-\sin \left(\frac{\pi }{3}+x\right)=\cos \left(\frac{\pi }{6}-x\right)-\cos \left(\frac{\pi }{2}-\left(\frac{\pi }{3}+x\right)\right)\\ =\cos \left(\frac{\pi }{6}-x\right)-\cos \left(\frac{\pi }{6}-x\right)=0\end{array}$

c) Ta có

$\begin{array}{l}C={\sin }^{2}x+\cos \left(\frac{\pi }{3}-x\right)\cos \left(\frac{\pi }{3}+x\right)\\ ={\sin }^{2}x+\frac{1}{2}\left[\cos \left(\frac{\pi }{3}-x+\frac{\pi }{3}+x\right)+\cos \left(\frac{\pi }{3}-x-\left(\frac{\pi }{3}+x\right)\right)\right]\\ ={\sin }^{2}x+\frac{1}{2}\left[\cos \frac{2\pi }{3}+\cos (-2x)\right]={\sin }^{2}x+\frac{1}{2}\left(-\frac{1}{2}+\cos 2x\right)\\ ={\sin }^{2}x-\frac{1}{4}+\frac{1}{2}\left(1-2{\sin }^{2}x\right)=\frac{1}{4}\end{array}$

d) Ta có

$\begin{array}{l}D=\frac{1-\cos 2x+\sin 2x}{1+\cos 2x+\sin 2x}.\cot x\\ =\frac{1-(1-2{\sin }^{2}x)+2\sin x\cos x}{1+2{\cos }^{2}x-1+2\sin x\cos x}.\cot x\\ =\frac{2{\sin }^{2}x+2\sin x\cos x}{2{\cos }^{2}x+2\sin x\cos x}.\cot x\\ =\frac{2\sin x(\sin x+\cos x)}{2\cos x(\cos x+\sin x)}.\cot x=\frac{\sin x}{\cos x}.\cot x=\tan x.\cot x=1\end{array}$