Giải bài 7.14 trang 30 sách bài tập toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $a$, $SA\mathrm{\perp }\left(ABCD\right)$, $SA=a\sqrt{2}$.

a) Tính góc giữa đường thẳng $SC$ và mặt phẳng $\left(ABCD\right)$.

b) Tính tang góc giữa đường thẳng $SC$ và mặt phẳng $\left(SAB\right)$.

Lời giải chi tiết

a) Ta có $SA\mathrm{\perp }\left(ABCD\right)\Rightarrow AC$ là hình chiếu vuông góc của $SC$ lên mặt phẳng $\left(ABCD\right)$.

Khi đó $\left(\widehat{SC,\left(ABCD\right)}\right)=\left(\widehat{SC,AC}\right)=\widehat{SCA}$.

Mặt khác tam giác $SAC$ vuông tại $A$ có $AC=a\sqrt{2}$ và $\tan \widehat{SCA}=\frac{SA}{AC}=1\Rightarrow \widehat{SCA}={45}^{\circ }$.

Vậy đường thẳng $SC$ hợp với  mặt phẳng $\left(ABCD\right)$ một góc ${45}^{\circ }$.

b) Ta có $\{\begin{array}{l}BC\mathrm{\perp }AB\\ BC\mathrm{\perp }SA\end{array}\Rightarrow BC\mathrm{\perp }\left(SAB\right)\Rightarrow SB$ là hình chiếu vuông góc của $SC$ lên mp$\left(SAB\right)$.

Khi đó $\left(\widehat{SC,\left(SAB\right)}\right)=\left(\widehat{SC,SB}\right)=\widehat{B\mathrm{S}C}$.

Mặt khác tam giác $SBC$ vuông tại $B$ có $BC=a,SB=\sqrt{S{A}^2+A{B}^2}=a\sqrt{3}$.

Do đó $\tan \widehat{BSC}=\frac{BC}{SB}=\frac{\sqrt{3}}{3}$.

Vậy tang góc giữa đường thẳng $SC$ và mặt phẳng $\left(SAB\right)$ là $\frac{\sqrt{3}}{3}$.