Giải bài 7.56 trang 43 sách bài tập toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Một bể chứa nước hình hộp chữ nhật $ABCD\cdot A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ được đặt trên một mái nhà nghiêng so với mặt đất nằm ngang góc ${10}^{\circ },AB=1\mathrm{m},AD=1,5\mathrm{m}$, $A{A}^{\prime }=1\mathrm{m}$. Đáy bể là hình chữ nhật $ABCD$. Các điểm $A,B$ cùng ở độ cao $5\mathrm{m}$ (so với mặt đất), các điểm $C,D$ ở độ cao lớn hơn so với độ cao của các điểm $A,B$. Khi nước trong bể phẳng lặng người ta đo được khoảng cách giữa đường mép nước ở mặt phẳng $\left(AB{B}^{\prime }{A}^{\prime }\right)$ và mặt đáy của bể là $80\mathrm{c}\mathrm{m}$. Tính thế tích của phần nước trong bể.

Lời giải chi tiết

Gọi $MN$ là đường mép nước ở trên mặt $\left(AB{B}^{\prime }{A}^{\prime }\right),EF$ là đường mép nước trên mặt $\left(CD{D}^{\prime }{C}^{\prime }\right)$.

Khi đó $ABNM.DCEF$ là một hình chóp cựt.

 Kẻ $MH$ vuông góc với $D{D}^{\prime }$ tại $H$ thì $HF=MH\cdot \mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}{10}^{\circ }=\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}{10}^{\circ }\left(\mathrm{m}\right)$.

Suy ra $DF=DH-HF=AM-HF=0,8-\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}{10}^{\circ }\approx 0,62\left(\mathrm{m}\right)$.

Ta có: $S_1=S_{DCEF}=DF\cdot CD\approx 0,62\left({\mathrm{m}}^2\right);S_2=S_{ABNM}=AB\cdot AM=0,8\left({\mathrm{m}}^2\right)$.

Vậy thể tích phần nước trong bể là

$V=\frac{1}{3}\cdot \left(S_1+S_2+\sqrt{S_1{S}_2}\right)\cdot AD=\frac{1}{3}\cdot \left(0,62+0,8+\sqrt{0,62\cdot 0,8}\right)\approx 0,71\left({\mathrm{m}}^3\right).$