Giải bài 7.47 trang 42 sách bài tập toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống

2024-09-14 13:05:30

Đề bài

Cho hình chóp $S . A B C D$ có tất cả các cạnh đều bằng $a$ , gọi $O$ là giao điểm của $A C$ và $B D$ . Khoảng cách giữa hai đường thẳng $A B$ và $S D$ bằng

A. $\frac{a \sqrt{6}}{3}$ .

B. $\frac{a \sqrt{3}}{2}$ .

C. . $\frac{a \sqrt{6}}{3}$ .

D. $\frac{a \sqrt{6}}{2}$ .

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Gọi $M, N$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $A B, C D$ ; $H$ là hình chiếu vuông góc của $O$ trên $S N .$

Vì $A B / / C D$ nên $d (A B, S D) = d (A B, (S C D)) = d (M, (S C D)) = 2 d (O, (S C D))$

Ta có ${\begin{cases} C D ⊥ S O \\ C D ⊥ O N \end{cases} \Rightarrow C D ⊥ (S O N) \Rightarrow C D ⊥ O H$

Khi đó ${\begin{cases} C D ⊥ O H \\ O H ⊥ S N \end{cases} \Rightarrow O H ⊥ (S C D) \Rightarrow d (O; (S C D)) = O H .$

Tam giác $S O D$ vuông tại $O$ nên $O S^{2} = S D^{2} - O D^{2}$

Tam giác $S O N$ vuông tại $O$ nên $\frac{1}{O H^{2}} = \frac{1}{O N^{2}} + \frac{1}{O S^{2}} \Rightarrow O H$

Vậy $d (A B, S D) = 2 O H$ .

Lời giải chi tiết

Gọi $M, N$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $A B, C D$ ; $H$ là hình chiếu vuông góc của $O$ trên $S N .$

Vì $A B / / C D$ nên $d (A B, S D) = d (A B, (S C D)) = d (M, (S C D)) = 2 d (O, (S C D))$

Ta có ${\begin{cases} C D ⊥ S O \\ C D ⊥ O N \end{cases} \Rightarrow C D ⊥ (S O N) \Rightarrow C D ⊥ O H$

Khi đó ${\begin{cases} C D ⊥ O H \\ O H ⊥ S N \end{cases} \Rightarrow O H ⊥ (S C D) \Rightarrow d (O; (S C D)) = O H .$

Tam giác $S O D$ vuông tại $O$ nên $O S^{2} = S D^{2} - O D^{2} = a^{2} - {(\frac{a \sqrt{2}}{2})}^{2} = \frac{a^{2}}{2}$

Tam giác $S O N$ vuông tại $O$ nên $\frac{1}{O H^{2}} = \frac{1}{O N^{2}} + \frac{1}{O S^{2}} = \frac{1}{\frac{a^{2}}{4}} + \frac{1}{\frac{a^{2}}{2}} = \frac{6}{a^{2}} \Rightarrow O H = \frac{a}{\sqrt{6}} = \frac{a \sqrt{6}}{6}$

Vậy $d (A B, S D) = 2 O H = \frac{a \sqrt{6}}{3}$ .

Bạn muốn hỏi điều gì?

Đặt Câu Hỏi

We using AI and power community to slove your question

Mẹo tìm đáp án nhanh

Search Google: "từ khóa + hoctot.me" Ví dụ: "Bài 1 trang 15 SGK Vật lí 11 hoctot.me"