Giải bài 19 trang 69 sách bài tập toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Cho hình chóp $S.ABCD$ có mặt phẳng $\left(SAB\right)$ vuông góc với mặt đáy $\left(ABCD\right)$, tam giác $SAB$ đều, đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh bằng $a$. Gọi $H$ là trung điểm của cạnh $AB$. Khoảng cách từ điểm $H$ đến mặt phẳng $\left(SAC\right)$ bằng

A. $\frac{a\sqrt{30}}{5}$.

B. $\frac{a\sqrt{21}}{14}$.

C. $\frac{a\sqrt{6}}{10}$.

D. $\frac{a\sqrt{6}}{5}$.

Lời giải chi tiết

Ta có $AC\mathrm{\perp }BD;AC=a\sqrt{2}$;

Gọi $M$  là trung điểm của $AD$ và $HM\cap AC=N$.

Do $\mathrm{\Delta }SAB$ là tam giác đều nên $SH\mathrm{\perp }AB;SH=\frac{a\sqrt{3}}{2}$.

Mà $\left(SAB\right)\mathrm{\perp }\left(ABCD\right)\Rightarrow SH\mathrm{\perp }\left(ABCD\right)\Rightarrow SH\mathrm{\perp }AC$ ;

$HM$ là đường trung bình tam giác $ABD\Rightarrow HM//BD\Rightarrow HM\mathrm{\perp }AC$

$HN=\frac{1}{2}HM=\frac{1}{4}AC=\frac{a\sqrt{2}}{4}$

Vì $SH\mathrm{\perp }AC;HN\mathrm{\perp }AC\Rightarrow \left(SHN\right)\mathrm{\perp }AC$

Kẻ $HK\mathrm{\perp }SN$ tại $K$.

Ta chứng minh được $HK\mathrm{\perp }SN;AC\Rightarrow HK\mathrm{\perp }\left(SAC\right)$ tại $K$.

Suy ra: $d\left(H,\left(SAC\right)\right)=HK$.

Ta có: $HK=\frac{HS.HN}{\sqrt{H{S}^2+H{N}^2}}$ $=\frac{\frac{a\sqrt{3}}{2}.\frac{a\sqrt{2}}{4}}{\sqrt{{\left(\frac{a\sqrt{3}}{2}\right)}^2+{\left(\frac{a\sqrt{2}}{4}\right)}^2}}$$=\frac{a\sqrt{21}}{14}$.

Chọn C