Giải bài 5 trang 27 sách bài tập toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 1

Đề bài

Cho hàm số $y=\tan x$ với $x\in \left(-\frac{3\pi }{2};-\frac{\pi }{2}\right)\cup \left(-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}\right)$.

a) Vẽ đồ thị của hàm số đã cho.

b) Tìm các giá trị của $x\in \left[-\frac{7\pi }{4};\frac{\pi }{4}\right]$ sao cho $\sqrt{3}\tan \left(x+\frac{\pi }{4}\right)+1=0$.

c) Tìm các giá trị của $x\in \left[-\frac{5\pi }{6};\frac{\pi }{6}\right]$ sao cho $\tan \left(2x+\frac{\pi }{6}\right)\ge -\frac{\sqrt{3}}{3}$.

Lời giải chi tiết

a) Ta có đồ thị của hàm số $y=\tan x$ với $x\in \left(-\frac{3\pi }{2};-\frac{\pi }{2}\right)\cup \left(-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}\right)$:

b) $\sqrt{3}\tan \left(x+\frac{\pi }{4}\right)+1=0$ khi $\tan \left(x+\frac{\pi }{4}\right)=\frac{-\sqrt{3}}{3}$

Đặt $x+\frac{\pi }{4}=t$. Vì $\frac{-7\pi }{4}\le x\le \frac{\pi }{4}\Rightarrow \frac{-3\pi }{2}\le t\le \frac{\pi }{2}$

Hàm số $y=\tan t$ xác định khi $t\ne \frac{\pi }{2}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}$. Kết hợp với điều kiện $\frac{-3\pi }{2}\le t\le \frac{\pi }{2}$ ta có $t\in \left(\frac{-3\pi }{2};\frac{-\pi }{2}\right)\cup \left(\frac{-\pi }{2};\frac{\pi }{2}\right)$.

Đồ thị hàm số $y=\tan t$ với $t\in \left(\frac{-3\pi }{2};\frac{-\pi }{2}\right)\cup \left(\frac{-\pi }{2};\frac{\pi }{2}\right)$ là:

Từ đồ thị hàm số trên ta có:

$\tan t=\frac{-\sqrt{3}}{3}$ khi và chỉ khi $t=\frac{-7\pi }{6}$ hoặc $t=\frac{-\pi }{6}$.

Suy ra: $x+\frac{\pi }{4}=\frac{-7\pi }{6}$ hoặc $x+\frac{\pi }{4}=\frac{-\pi }{6}$. Do đó, $x=\frac{-17\pi }{12}$ hoặc $x=\frac{-5\pi }{12}$.

c) Đặt $2x+\frac{\pi }{6}=t$. Vì $\frac{-5\pi }{6}\le x\le \frac{\pi }{6}\Rightarrow \frac{-3\pi }{2}\le t\le \frac{\pi }{2}$

Hàm số $y=\tan t$ xác định khi $t\ne \frac{\pi }{2}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}$. Kết hợp với điều kiện $\frac{-3\pi }{2}\le t\le \frac{\pi }{2}$ ta có $t\in \left(\frac{-3\pi }{2};\frac{-\pi }{2}\right)\cup \left(\frac{-\pi }{2};\frac{\pi }{2}\right)$

Đồ thị hàm số $y=\tan t$ với $t\in \left(\frac{-3\pi }{2};\frac{-\pi }{2}\right)\cup \left(\frac{-\pi }{2};\frac{\pi }{2}\right)$ là:

Từ đồ thị hàm số trên ta có:

$\tan t\ge \frac{-\sqrt{3}}{3}$ khi và chỉ khi $\frac{-7\pi }{6}\le t<-\frac{\pi }{2}$ hoặc $\frac{-\pi }{6}\le t<\frac{\pi }{2}$.

Suy ra, $\frac{-7\pi }{6}\le 2x+\frac{\pi }{6}<-\frac{\pi }{2}$ hoặc $\frac{-\pi }{6}\le 2x+\frac{\pi }{6}<\frac{\pi }{2}$

Do đó, $\frac{-2\pi }{3}\le x<-\frac{\pi }{3}$ hoặc $-\frac{\pi }{6}\le x<\frac{\pi }{6}$.