Giải bài 13 trang 77 sách bài tập toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 1

2024-09-14 13:06:46

Đề bài

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, đường thẳng $d : x + y = 2$ cắt trục hoành tại điểm A và cắt đường thẳng $d_{n} : y = \frac{2 n + 1}{n} x$ tại điểm $P_{n} (n \in N *)$ . Kí hiệu $S_{n}$ là diện tích của tam giác $O A P_{n}$ . Tính $lim S_{n}$ .

Phương pháp giải - Xem chi tiết

+ Sử dụng kiến thức về các phép toán về giới hạn hữu hạn của dãy số để tính: Cho $lim u_{n} = a, lim v_{n} = b$ và c là hằng số: $lim (u_{n} + v_{n}) = a + b$ , $lim (c . u_{n}) = c . a$ , $lim \frac{u_{n}}{v_{n}} = \frac{a}{b} (b \neq 0)$ .

+ Sử dụng kiến thức về một số giới hạn cơ bản để tính: $lim q^{n} = 0$ (q là số thực, $| q | < 1$ ), $lim c = c$ (c là hằng số).

Lời giải chi tiết

Ta có: $A (0; 2); O A = 2; \hat{O A P_{n}} = 45^{0}$

Vì P là giao điểm của $d_{n}$ và d nên tọa độ của P là nghiệm của hệ phương trình:

${\begin{cases} x + y = 2 \\ y = \frac{2 n + 1}{n} x \end{cases} \Leftrightarrow {\begin{cases} x + \frac{2 n + 1}{n} x = 2 \\ y = \frac{2 n + 1}{n} x \end{cases} \Leftrightarrow {\begin{cases} x . \frac{3 n + 1}{n} = 2 \\ y = \frac{2 n + 1}{n} x \end{cases} \Leftrightarrow {\begin{cases} x = \frac{2 n}{3 n + 1} \\ y = \frac{4 n + 2}{3 n + 1} \end{cases}$

Do đó, $P_{n} (\frac{2 n}{3 n + 1}; \frac{4 n + 2}{3 n + 1})$

Gọi H là hình chiếu vuông góc của $P_{n}$ trên trục Ox.

Khi đó: $P_{n} H = | \frac{4 n + 2}{3 n + 1} | = \frac{4 n + 2}{3 n + 1} (d o n \in N *)$

Diện tích tam giác $O A P_{n}$ là: $S_{n} = \frac{1}{2} . O A . P_{n} H = \frac{1}{2} .2 . \frac{4 n + 2}{3 n + 1} = \frac{4 n + 2}{3 n + 1}$

$lim S_{n} = lim \frac{4 n + 2}{3 n + 1} = lim \frac{4 + \frac{2}{n}}{3 + \frac{1}{n}} = \frac{4}{3}$

Bạn muốn hỏi điều gì?

Đặt Câu Hỏi

We using AI and power community to slove your question

Mẹo tìm đáp án nhanh

Search Google: "từ khóa + hoctot.me" Ví dụ: "Bài 1 trang 15 SGK Vật lí 11 hoctot.me"