Giải bài 4 trang 39 sách bài tập toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 2

Đề bài

Gọi (C) là đồ thị của hàm số $y=x^3-2x^2+1$. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) sao cho tiếp tuyến đó

a) Song song với đường thẳng $y=-x+2$;

b) Vuông góc với đường thẳng $y=-\frac{1}{4}x-4$;

c) Đi qua điểm A(0; 1).

Lời giải chi tiết

Với $x_0$ bất kì ta có: $y^{\prime }\left(x_0\right)=\underset{x\to x_0}{lim}\frac{y\left(x\right)-y\left(x_0\right)}{x-x_0}=\underset{x\to x_0}{lim}\frac{x^3-2x^2+1-x_0^3+2x_0^2-1}{x-x_0}$

$=\underset{x\to x_0}{lim}\frac{\left(x^3-x_0^3\right)-2\left(x^2-x_0^2\right)}{x-x_0}=\underset{x\to x_0}{lim}\frac{\left(x-x_0\right)\left(x^2+x.x_0+x_0^2-2x_0-2x\right)}{x-x_0}$

$=\underset{x\to x_0}{lim}\left(x^2+x.x_0+x_0^2-2x_0-2x\right)=x_0^2+x_0^2+x_0^2-4x_0=x_0^2+x_0^2+x_0^2-4x_0=3x_0^2-4x_0$

Vậy $y^{\prime }\left(x\right)=3x^2-4x$

a) Tiếp tuyến tại điểm $x_0$ có phương trình là: $y-f\left(x_0\right)=f^{\prime }\left(x_0\right)\left(x-x_0\right)$

Vì tiếp tuyến của đồ thị hàm số (C) song song với đường thẳng $y=-x+2$ nên $f^{\prime }\left(x_0\right)=-1\iff 3x_0^2-4x_0+1=0\iff [\begin{array}{l}{x}_0=\frac{1}{3}\\ x_0=1\end{array}$

Ta có: $y\left(1\right)=0,y\left(\frac{1}{3}\right)=\frac{22}{27}$

Tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm $x=1$ là:

$y=y^{\prime }\left(1\right)\left(x-1\right)+y\left(1\right)=\left(-1\right)\left(x-1\right)=-x+1$

Tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm $x=\frac{1}{3}$ là:

$y=y^{\prime }\left(\frac{1}{3}\right)\left(x-\frac{1}{3}\right)+y\left(\frac{1}{3}\right)=\left(-1\right)\left(x-\frac{1}{3}\right)+\frac{22}{27}=-x+\frac{31}{27}$

b) Tiếp tuyến tại điểm $x_0$ có phương trình là: $y-f\left(x_0\right)=f^{\prime }\left(x_0\right)\left(x-x_0\right)$

Vì tiếp tuyến của đồ thị hàm số (C) vuông góc với đường thẳng $y=-\frac{1}{4}x+2$ nên $f^{\prime }\left(x_0\right)=4\iff 3x_0^2-4x_0-4=0\iff [\begin{array}{l}{x}_0=\frac{-2}{3}\\ x_0=2\end{array}$

Lại có $y\left(2\right)=1,y\left(\frac{-2}{3}\right)=\frac{-5}{27}$

Tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm $x=2$ là:

$y=y^{\prime }\left(2\right)\left(x-2\right)+y\left(2\right)=4\left(x-2\right)+1=4x-7$

Tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm $x=\frac{-2}{3}$ là:

$y=y^{\prime }\left(\frac{-2}{3}\right)\left(x+\frac{2}{3}\right)+y\left(\frac{-2}{3}\right)=4\left(x+\frac{2}{3}\right)+\frac{-5}{27}=4x+\frac{67}{27}$

c) Tiếp tuyến đi qua điểm A(0;1) tại điểm $x_0$ có phương trình là:

$y-y\left(x_0\right)=y^{\prime }\left(x_0\right)\left(x-x_0\right)\iff y=\left(3x_0^2-4x_0\right)\left(x-x_0\right)+x_0^3-2x_0^2+1$

Vì tiếp tuyến đi qua điểm A(0;1) nên:

$1=\left(3x_0^2-4x_0\right)\left(0-x_0\right)+x_0^3-2x_0^2+1$$\iff -3x_0^3+4x_0^2+x_0^3-2x_0^2=0$

$\iff -2x_0^3+2x_0^2=0\iff 2x_0^2\left(x_0-1\right)=0\iff [\begin{array}{l}{x}_0=1\\ x_0=0\end{array}$

Với $x_0=1$ thì $y^{\prime }\left(1\right)={3.1}^2-4.1=-1,y\left(1\right)=0$. Khi đó, tiếp tuyến của (C) cần tìm là: $y=y^{\prime }\left(1\right).\left(x-1\right)+y\left(1\right)=\left(-1\right)\left(x-1\right)+0=-x+1$

Với $x_0=0$ thì $f^{\prime }\left(0\right)={3.0}^2-4.0=0,f\left(0\right)=1$. Khi đó, tiếp tuyến của (C) cần tìm là: $y=y^{\prime }\left(0\right).\left(x-0\right)+y\left(0\right)=0\left(x-0\right)+1=1$