Giải bài 3 trang 39 sách bài tập toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 2

Đề bài

Xét tính liên tục, sự tồn tại đạo hàm và tính đạo hàm (nếu có) của các hàm số sau đây trên $\mathbb{R}$.

a) $f\left(x\right)=\{\begin{array}{l}{x}^2-x+2khix\le 2\\ \frac{1}{x+1}khix>2\end{array}$;

b) $f\left(x\right)=\{\begin{array}{l}{x}^2+2xkhix\le 1\\ \frac{2}{x}+1khix>1\end{array}$.

Lời giải chi tiết

a) Vì $\underset{x\to 2^{+}}{lim}f\left(x\right)=\underset{x\to 2^{+}}{lim}\frac{1}{x+1}=\frac{1}{3}\ne \underset{x\to 2^{-}}{lim}f\left(x\right)=\underset{x\to 2^{-}}{lim}\left(x^2-x+2\right)=4$ nên f(x) gián đoạn tại $x=2$. Do đó, f(x) không có giới hạn tại 2, không có đạo hàm tại 2.

b) Vì $\underset{x\to 1^{+}}{lim}f\left(x\right)=\underset{x\to 1^{+}}{lim}\left(\frac{2}{x}+1\right)=3;\underset{x\to 1^{-}}{lim}f\left(x\right)=\underset{x\to 1^{-}}{lim}\left(x^2+2x\right)=3;f\left(1\right)=3$ nên $\underset{x\to 1^{+}}{lim}f\left(x\right)=\underset{x\to 1^{-}}{lim}f\left(x\right)=f\left(1\right)$. Do đó, hàm số f(x) liên tục tại $x=1$.

Lại có: $\underset{x\to 1^{+}}{lim}\frac{f\left(x\right)-f\left(1\right)}{x-1}=\underset{x\to 1^{+}}{lim}\frac{\frac{2}{x}+1-3}{x-1}=\underset{x\to 1^{+}}{lim}\frac{-2\left(x-1\right)}{x\left(x-1\right)}=-2;$

$\underset{x\to 1^{-}}{lim}\frac{f\left(x\right)-f\left(1\right)}{x-1}=\underset{x\to 1^{-}}{lim}\frac{x^2+2x-3}{x-1}=\underset{x\to 1^{-}}{lim}\frac{\left(x-1\right)\left(x+3\right)}{x-1}=4$

Suy ra $\underset{x\to 1^{+}}{lim}\frac{f\left(x\right)-f\left(1\right)}{x-1}\ne \underset{x\to 1^{-}}{lim}\frac{f\left(x\right)-f\left(1\right)}{x-1}$

Do đó, không tồn tại $\underset{x\to 1}{lim}\frac{f\left(x\right)-f\left(1\right)}{x-1}$

Vậy không tồn tại đạo hàm tại $x=1$