Giải bài 1 trang 38 sách bài tập toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 2

2024-09-14 13:08:11

Đề bài

Cho hàm số $y = \sqrt[3]{x}$ . Chứng minh rằng $y^{'} (x) = \frac{1}{3 \sqrt[3]{x^{2}}} (x \neq 0)$ .

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Sử dụng kiến thức về định nghĩa đạo hàm để chứng minh: Cho hàm số $y = f (x)$ xác định trên khoảng $(a; b)$ và $x_{0} \in (a; b)$ . Nếu tồn tại giới hạn hữu hạn $lim_{x \to x_{0}} \frac{f (x) - f (x_{0})}{x - x_{0}}$ thì giới hạn này được gọi là đạo hàm của hàm số f(x) tại $x_{0}$ , kí hiệu là $f^{'} (x_{0})$ hoặc $y^{'} (x_{0})$ . Vậy $f^{'} (x_{0}) = lim_{x \to x_{0}} \frac{f (x) - f (x_{0})}{x - x_{0}}$

Lời giải chi tiết

Với bất kì $x_{0} \neq 0$ ta có: $y^{'} (x_{0}) = lim_{x \to x_{0}} \frac{y (x) - y (x_{0})}{x - x_{0}} = lim_{x \to x_{0}} \frac{\sqrt[3]{x} - \sqrt[3]{x_{0}}}{x - x_{0}}$

$= lim_{x \to x_{0}} \frac{(\sqrt[3]{x} - \sqrt[3]{x_{0}}) [{(\sqrt[3]{x})}^{2} + \sqrt[3]{x} \sqrt[3]{x_{0}} + {(\sqrt[3]{x_{0}})}^{2}]}{(x - x_{0}) [{(\sqrt[3]{x})}^{2} + \sqrt[3]{x} \sqrt[3]{x_{0}} + {(\sqrt[3]{x_{0}})}^{2}]} = lim_{x \to x_{0}} \frac{(x - x_{0})}{(x - x_{0}) [{(\sqrt[3]{x})}^{2} + \sqrt[3]{x} \sqrt[3]{x_{0}} + {(\sqrt[3]{x_{0}})}^{2}]}$

$= lim_{x \to x_{0}} \frac{1}{{(\sqrt[3]{x})}^{2} + \sqrt[3]{x} \sqrt[3]{x_{0}} + {(\sqrt[3]{x_{0}})}^{2}} = \frac{1}{{(\sqrt[3]{x_{0}})}^{2} + {(\sqrt[3]{x_{0}})}^{2} + {(\sqrt[3]{x_{0}})}^{2}} = \frac{1}{3 \sqrt[3]{x_{0}^{2}}}$

Vậy $y^{'} (x) = \frac{1}{3 \sqrt[3]{x^{2}}} (x \neq 0)$

Bạn muốn hỏi điều gì?

Đặt Câu Hỏi

We using AI and power community to slove your question

Mẹo tìm đáp án nhanh

Search Google: "từ khóa + hoctot.me" Ví dụ: "Bài 1 trang 15 SGK Vật lí 11 hoctot.me"