Giải bài 9 trang 68 sách bài tập toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 2

Đề bài

Cho hình chóp cụt tam giác đều ABC.A’B’C’ có đường cao $H{H}^{\prime }=2a$. Cho biết $AB=2a,A^{\prime }{B}^{\prime }=a$. Gọi $B_1,C_1$ lần lượt là trung điểm của AB, AC. Tính thể tích của:

a) Khối chóp cụt đều ABC.A’B’C’;

b) Khối lăng trụ $A{B}_1{C}_1.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$.

Lời giải chi tiết

a) Vì tam giác ABC, A’B’C’ đều nên $S_{ABC}=\frac{A{B}^2\sqrt{3}}{4}=a^2\sqrt{3},S_{A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }}=\frac{A^{\prime }B{}^{\prime 2}\sqrt{3}}{4}=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}$

Do đó thể tích khối chóp cụt đều ABC.A’B’C’ là:

${{V}_{ABC.ABC}}$$=\frac{1}{3}.H{H}^{\prime }(S_{ABC}+\sqrt{S_{ABC}.S_{A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }}}+S_{A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }})$$  =\frac{1}{3}.2a\left( {{a}^{2}}\sqrt{3}+\sqrt{{{a}^{2}}\sqrt{3}.\frac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4}}+\frac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4} \right)$

$=\frac{2}{3}a\left(\frac{5\sqrt{3}{a}^2}{4}+\frac{a^2\sqrt{3}}{2}\right)=\frac{7a^3\sqrt{3}}{6}$

b) Thể tích khối lăng trụ $A{B}_1{C}_1.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ là: $V_{A{B}_1{C}_1.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }}=H{H}^{\prime }.S_{A^{\prime }{B}^{\prime }C}=2a.\frac{a^2\sqrt{3}}{4}=\frac{a^3\sqrt{3}}{2}$