Giải bài 2 trang 68 sách bài tập toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 2

2024-09-14 13:08:34

Đề bài

Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng 3a, cạnh bên bằng 2a. Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC, M là trung điểm của SC.

a) Tính khoảng cách từ S đến mặt phẳng (ABC).

b) Tính khoảng cách từ M đến mặt phẳng (SAG).

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Sử dụng kiến thức về khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng để tính: Nếu H là hình chiếu vuông góc của điểm M trên mặt phẳng (P) thì độ dài đoạn thẳng MH được gọi là khoảng cách từ điểm M đến (P), kí hiệu d(M; (P)).

Lời giải chi tiết

a) Vì S.ABC là hình chóp tam giác đều, G là trọng tâm của tam giác ABC nên $S G ⊥ (A B C)$ . Do đó, $d (S; (A B C)) = S G$

Vì tam giác ABC đều nên $\hat{A B C} = 60^{0}$ .

Gọi I là giao điểm của AG và BC. Khi đó, $A G = \frac{2}{3} A I$

Tam giác ABC đều nên AI là đường trung tuyến đồng thời là đường cao. Do đó, tam giác ABI vuông tại I. Suy ra: $A I = A B . \sin \hat{A B C} = \frac{3 a \sqrt{3}}{2} \Rightarrow A G = a \sqrt{3}$

Vì $S G ⊥ (A B C), A G \subset (A B C) \Rightarrow S G ⊥ A G$

Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác ASG vuông tại G có:

$S G = \sqrt{S A^{2} - A G^{2}} = \sqrt{{(2 a)}^{2} - {(a \sqrt{3})}^{2}} = a$

b) Vì $S C \cap (S A G) = S$ $\Rightarrow \frac{d (M, (S A G))}{d (C, (S A G))} = \frac{M S}{C S} = \frac{1}{2}$ $\Rightarrow d (M, (S A G)) = \frac{1}{2} d (C, (S A G))$

Vì $C B ⊥ A I, C B ⊥ S G \Rightarrow C B ⊥ (S A G)$ . Mà $C B \cap (S A G) = I$

Do đó, $d (C, (S A G)) = C I = \frac{1}{2} B C = \frac{3 a}{2}$ . Vậy $d (M, (S A G)) = \frac{3 a}{4}$

Bạn muốn hỏi điều gì?

Đặt Câu Hỏi

We using AI and power community to slove your question

Mẹo tìm đáp án nhanh

Search Google: "từ khóa + hoctot.me" Ví dụ: "Bài 1 trang 15 SGK Vật lí 11 hoctot.me"