Giải bài 10 trang 100 sách bài tập toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 2

Đề bài

Một hộp chứa 40 tấm thẻ cùng loại được đánh số lần lượt từ 1 đến 40. Lấy ra ngẫu nhiên đồng thời hai thẻ từ hộp. Tính xác suất của các biến cố:

a) “Tổng các số ghi trên 2 thẻ lấy ra nhỏ hơn 4 hoặc lớn hơn 76”;

b) “Tích các số ghi trên 2 thẻ lấy ra chia hết cho 10”.

Lời giải chi tiết

Không gian mẫu là: “Lấy ra ngẫu nhiên đồng thời hai thẻ từ hộp có 40 tấm thẻ”

Số phần tử của không gian mẫu là: $C_{40}^2$

a) Gọi A là biến cố: “Tổng các số ghi trên 2 thẻ lấy ra nhỏ hơn 4 hoặc lớn hơn 76”, B là biến cố “Tổng các số ghi trên 2 thẻ lấy ra nhỏ hơn 4”, C là biến cố: “Tổng các số ghi trên 2 thẻ lấy ra lớn hơn 76”.  Khi đó, $A=B\cup C$

Vì có hai tấm thẻ 1 và 2 có tổng nhỏ hơn 4 nên số kết quả thuận lợi của biến cố B là 1.

Xác suất của biến cố B là: $P\left(B\right)=\frac{1}{C_{40}^2}$

Số kết quả thuận lợi của biến cố C là: (38; 39), (38; 40), (39; 40), (37; 40).

Xác suất của biến cố C là: $P\left(C\right)=\frac{4}{C_{40}^2}$

Vì B và C là hai biến cố xung khắc nên

$P\left(A\right)=P\left(B\cup C\right)=P\left(B\right)+P\left(C\right)=\frac{1}{C_{40}^2}+\frac{4}{C_{40}^2}=\frac{1}{156}$

b) Gọi E là biến cố: “Tích các số ghi trên hai thẻ lấy ra chia hết cho 10”

Gọi F là biến cố: “Tích các số ghi trên hai thẻ lấy ra không chia hết cho 5”

Gọi G là biến cố: “Tích các số ghi trên hai thẻ lấy ra không chia hết cho 2”

Khi đó E là biến cố đối của biến cố $F\cup G$

Từ 1 đến 40 có 32 số không chia hết cho 5 nên số các kết quả thuận lợi của biến cố F là:$n\left(F\right)=C_{32}^2$

Xác suất của biến cố F là: $P\left(F\right)=\frac{C_{32}^2}{C_{40}^2}=\frac{124}{195}$

Từ 1 đến 40 có 20 số không chia hết cho 2 nên số các kết quả thuận lợi của biến cố G là $n\left(G\right)=C_{20}^2$

Xác suất của biến cố G là: $P\left(G\right)=\frac{C_{20}^2}{C_{40}^2}=\frac{19}{78}$

Từ 1 đến 40 có 4 có 16 số không chia hết cho 2 và 5. Do đó, xác suất của biến cố FG là: $n\left(FG\right)=\frac{C_{16}^2}{C_{40}^2}=\frac{2}{13}$

Ta có: $P\left(F\cup G\right)=P\left(F\right)+P\left(G\right)-P\left(FG\right)$ $=\frac{124}{195}+\frac{19}{78}-\frac{2}{13}=\frac{283}{390}$

Vậy xác suất của biến cố E là: $P\left(E\right)=1-P\left(F\cup G\right)=1-\frac{283}{390}=\frac{107}{390}$