Giải bài 56 trang 57 sách bài tập toán 11 - Cánh diều

2024-09-14 13:09:41

Đề bài

Cho dãy số $(u_{n})$ biết $u_{1} = 1$ , $u_{2} = 2$ , $u_{n + 1} = 2 u_{n} - u_{n - 1} + 2$ với $n \geq 2$ .

a) Viết năm số hạng đầu của dãy số.

b) Đặt $v_{n} = u_{n + 1} - u_{n}$ với $n \in N^{*}$ . Chứng minh rằng dãy số $(v_{n})$ là cấp số cộng.

c) Tìm công thức của $v_{n}$ , $u_{n}$ tính theo $n$ .

Phương pháp giải - Xem chi tiết

a) Thay $n = 2$ , $n = 3$ , $n = 4$ vào biểu thức $u_{n + 1} = 2 u_{n} - u_{n - 1} + 2$ để tính $u_{3}, u_{4}, u_{5}$ .

b) Do $u_{n + 1} = 2 u_{n} - u_{n - 1} + 2 \Rightarrow u_{n + 1} - u_{n} = u_{n} - u_{n - 1} + 2 \Rightarrow v_{n} = v_{n - 1} + 2$ . Suy ra $(v_{n})$ là cấp số cộng.

c) Do $(v_{n})$ là cấp số cộng nên $v_{n} = v_{1} + (n - 1) d$ .

Ta có $v_{1} = u_{2} - u_{1}$ , $v_{2} = u_{3} - u_{2}$ , $v_{3} = u_{4} - u_{3}$ ,…, $v_{n - 1} = u_{n} - u_{n - 1}$

Do đó $v_{1} + v_{2} + v_{3} + . . . . + v_{n - 1} = - u_{1} + u_{n}$

Từ đó ta tính được công thức số hạng tổng quát của $(u_{n})$

Lời giải chi tiết

a) Ta có

$u_{3} = 2 u_{2} - u_{1} + 2 = 2.2 - 1 + 2 = 5$

$u_{4} = 2 u_{3} - u_{2} + 2 = 2.5 - 2 + 2 = 10$

$u_{5} = 2 u_{4} - u_{3} + 2 = 2.10 - 5 + 2 = 17$

Vậy năm số hạng đầu của dãy số là 1, 2, 5, 10, 17.

b) Do $u_{n + 1} = 2 u_{n} - u_{n - 1} + 2 \Rightarrow u_{n + 1} - u_{n} = u_{n} - u_{n - 1} + 2$

Mà $v_{n} = u_{n} - u_{n - 1}$ , ta suy ra $v_{n} = v_{n - 1} + 2 \Rightarrow v_{n} - v_{n - 1} = 2$

Dãy số $(v_{n})$ có $v_{n} - v_{n - 1} = 2$ là một hằng số, nên $(v_{n})$ là cấp số cộng có số hạng đầu $v_{1} = u_{2} - u_{1} = 2 - 1 = 1$ , công sai $d = 2$ .

c) Do $(v_{n})$ là cấp số cộng, nên $v_{n} = v_{1} + (n - 1) d = 1 + 2 (n - 1) = 2 n - 1$

Ta có $v_{1} = u_{2} - u_{1}$ , $v_{2} = u_{3} - u_{2}$ , $v_{3} = u_{4} - u_{3}$ ,…, $v_{n - 1} = u_{n} - u_{n - 1}$

Do đó $v_{1} + v_{2} + v_{3} + . . . . + v_{n - 1} = - u_{1} + u_{n}$

Suy ra $u_{n} = \frac{(2 v_1 + (n - 2) d) (n - 1)}{2} + 1 = {(n - 1)}^{2} + 1$ .

Bạn muốn hỏi điều gì?

Đặt Câu Hỏi

We using AI and power community to slove your question

Mẹo tìm đáp án nhanh

Search Google: "từ khóa + hoctot.me" Ví dụ: "Bài 1 trang 15 SGK Vật lí 11 hoctot.me"