Giải bài 30 trang 81 sách bài tập toán 11 - Cánh diều

Đề bài

Cho hàm số $f\left(x\right)=\{\begin{array}{l}{x}^2-x\left(x\ge 1\right)\\ x+a\left(x<1\right)\end{array}$

a)    Với $a=2$, xét tính liên tục của hàm số tại $x=1$.

b)    Tìm $a$ để hàm số liên tục trên $\mathbb{R}$

Lời giải chi tiết

a) Với $a=2$ ta có $f\left(x\right)=\{\begin{array}{l}{x}^2-x\left(x\ge 1\right)\\ x+2\left(x<1\right)\end{array}$.

Xét $\underset{x\to 1^{+}}{lim}f\left(x\right)=\underset{x\to 1^{+}}{lim}\left(x^2-x\right)=1^2-1=0$, $\underset{x\to 1^{-}}{lim}f\left(x\right)=\underset{x\to 1^{-}}{lim}\left(x+2\right)=3$.

Do $\underset{x\to 1^{-}}{lim}f\left(x\right)\ne \underset{x\to 1^{+}}{lim}f\left(x\right)$, nên không tồn tại $\underset{x\to 1}{lim}f\left(x\right)$. Do đó, hàm số không liên tục tại $x=1$.

b) Với $x<1$ thì $f\left(x\right)=x+a$ là hàm đa thức nên $f\left(x\right)$ liên tục trên $\left(-\mathrm{\infty },1\right)$.

Với $x>1$ thì $f\left(x\right)=x^2-x$ là hàm đa thức nên $f\left(x\right)$ liên tục trên $\left(1,+\mathrm{\infty }\right)$.

Do đó, để $f\left(x\right)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ thì $f\left(x\right)$ phải liên tục tại $x=1$.

Tức là $\underset{x\to 1^{-}}{lim}f\left(x\right)=\underset{x\to 1^{+}}{lim}f\left(x\right)=\underset{x\to 1}{lim}f\left(x\right)=f\left(1\right)$

Suy ra $\underset{x\to 1^{-}}{lim}\left(x+a\right)=0\Rightarrow 1+a=0\Rightarrow a=-1$.