Giải bài 13 trang 100 sách bài tập toán 11 - Cánh diều

Đề bài

Cho tứ diện $ABCD$. Gọi $M$, $N$ lần lượt là trung điểm của $AB$, $AD$. Giao tuyến của hai mặt phẳng $\left(CMN\right)$ và $\left(BCD\right)$ là đường thẳng song song với đường thẳng nào sau đây?

A. $BD$                       

B. $CD$             

C. $BC$             

D. $AB$

Lời giải chi tiết

Ta có $M$ là trung điểm của $AB$, $N$ là trung điểm của $AD$, nên $MN$ là đường trung bình của tam giác $ABD$. Suy ra $MN\parallel BD$.

Xét hai mặt phẳng $\left(CMN\right)$ và $\left(BCD\right)$. Ta có $C\in \left(CMN\right)\cap \left(BCD\right)$ nên tồn tại giao tuyến giữa hai mặt phẳng $\left(CMN\right)$ và $\left(BCD\right)$. Hơn nữa, do $C\notin BD$ nên $BD$ không là giao tuyến của hai mặt phẳng trên.

Ta thấy rằng, $MN\parallel BD$, $MN\subset \left(CMN\right)$, $BD\subset \left(BCD\right)$, nên suy ra giao tuyến của hai mặt phẳng $\left(CMN\right)$ và $\left(BCD\right)$ song song hoặc trùng với $BD$.

Nhưng do $BD$ không là giao tuyến của hai mặt phẳng $\left(CMN\right)$ và $\left(BCD\right)$, nên giao tuyến của chúng song song với đường thẳng $BD$.

Đáp án đúng là A.