Giải bài 7 trang 65 sách bài tập toán 11 - Cánh diều

Đề bài

Chứng minh rằng hàm số $f\left(x\right)=\left|x-2\right|$ không có đạo hàm tại điểm $x_0=2,$ nhưng có đạo hàm tại mọi điểm $x\ne 2.$

Lời giải chi tiết

* Xét $x>2\Rightarrow f\left(x\right)=\left|x-2\right|=x-2.$

Tại $x_0\in \left(2;+\mathrm{\infty }\right)$ tùy ý, gọi $\mathrm{\Delta }x$ là số gia của biến số tại $x_0.$

$\begin{array}{l}\mathrm{\Delta }y=f\left(x_0+\mathrm{\Delta }x\right)-f\left(x_0\right)=x_0+\mathrm{\Delta }x-2-x_0+2=\mathrm{\Delta }x.\\ \Rightarrow \frac{\mathrm{\Delta }y}{\mathrm{\Delta }x}=\frac{\mathrm{\Delta }x}{\mathrm{\Delta }x}=1\Rightarrow \underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}\frac{\mathrm{\Delta }y}{\mathrm{\Delta }x}=\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}1=1.\end{array}$

$\Rightarrow f^{\prime }\left(x\right)=1.$

* Xét $x<2\Rightarrow f\left(x\right)=\left|x-2\right|=2-x.$

Tại $x_0\in \left(-\mathrm{\infty };-2\right)$ tùy ý, gọi $\mathrm{\Delta }x$ là số gia của biến số tại $x_0.$

$\begin{array}{l}\mathrm{\Delta }y=f\left(x_0+\mathrm{\Delta }x\right)-f\left(x_0\right)=2-\left(x_0+\mathrm{\Delta }x\right)+x_0-2=-\mathrm{\Delta }x.\\ \Rightarrow \frac{\mathrm{\Delta }y}{\mathrm{\Delta }x}=\frac{-\mathrm{\Delta }x}{\mathrm{\Delta }x}=-1\Rightarrow \underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}\frac{\mathrm{\Delta }y}{\mathrm{\Delta }x}=\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}-1=-1.\end{array}$

$\Rightarrow f^{\prime }\left(x\right)=-1.$

* Xét tại $x=2,$ gọi $\mathrm{\Delta }x$ là số gia của biến số tại $x_0=2.$

$\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0^{+}}{lim}\frac{\mathrm{\Delta }y}{\mathrm{\Delta }x}=\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}1=1\ne \underset{\mathrm{\Delta }x\to 0^{-}}{lim}\frac{\mathrm{\Delta }y}{\mathrm{\Delta }x}=\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}-1=-1.$

Suy ra không tồn tại đạo hàm của hàm số tại $x=2.$