Giải bài 44 trang 104 sách bài tập toán 11 - Cánh diều

2024-09-14 13:11:44

Đề bài

Cho hình chóp $S . A B C D$ có $A B C D$ là hình chữ nhật, $(S A C) ⊥ (A B C D)$ . Gọi $M$ là trung điểm của $A D$ , $(S B M) ⊥ (A B C D)$ . Giả sử $S A = 5 a$ , $A B = 3 a$ , $A D = 4 a$ và góc giữa đường thẳng $S A$ và mặt phẳng $(A B C D)$ bằng $φ$ . Tính $\cos φ$ .

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Gọi $H$ là giao điểm của $B M$ và $A C$ . Ta chứng minh $S H ⊥ (A B C D)$ , từ đó suy ra $φ = \hat{S A H}$ .

Lời giải chi tiết

Gọi $H$ là giao điểm của $B M$ và $A C$ . Dễ dàng chứng minh được $S H$ là giao tuyến của hai mặt phẳng $(S A C)$ và $(S B M)$ . Hơn nữa, do $(S A C) ⊥ (A B C D)$ và $(S B M) ⊥ (A B C D)$ , ta suy ra $S H ⊥ (A B C D)$ , tức $H$ là hình chiếu của $S$ trên $(A B C D)$ .

Do đó góc giữa đường thẳng $S A$ và mặt phẳng $(A B C D)$ chính là góc $\hat{S A H}$ , tức là $φ = \hat{S A H}$ . Suy ra $\cos φ = \cos \hat{S A H} = \frac{A H}{S A}$ .

Vì $A B C D$ là hình chữ nhật, nên $A C = \sqrt{A B^{2} + B C^{2}} = \sqrt{{(3 a)}^{2} + {(4 a)}^{2}} = 5 a$ .

Ta có $A M = \frac{1}{2} A D = \frac{1}{2} .4 a = 2 a$ .

Do $A M ∥ B C$ , ta suy ra $\frac{A H}{H C} = \frac{A M}{B C} = \frac{2 a}{4 a} = \frac{1}{2}$ . Như vậy $\frac{A H}{A C} = \frac{1}{3}$ .

Suy ra $A H = \frac{A C}{3} = \frac{5 a}{3}$ .

Do đó $\cos φ = \frac{A H}{S A} = \frac{\frac{5 a}{3}}{5 a} = \frac{1}{3}$ .

Bạn muốn hỏi điều gì?

Đặt Câu Hỏi

We using AI and power community to slove your question

Mẹo tìm đáp án nhanh

Search Google: "từ khóa + hoctot.me" Ví dụ: "Bài 1 trang 15 SGK Vật lí 11 hoctot.me"