Giải bài 57 trang 118 sách bài tập toán 11 tập 2 - Cánh diều

Đề bài

Cho hình chóp tứ giác đều $S.ABCD$ có $AB=a$, $O$ là hình chiếu của $S$ trên $\left(ABCD\right)$, $SO=a$. Gọi $M$ là hình chiếu của $O$ trên $CD$ (xem hình dưới).

a) Đường thẳng $AC$ vuông góc với mặt phẳng nào trong các mặt phẳng sau đây?

A. $\left(SAB\right)$

B. $\left(SAD\right)$

C. $\left(SBC\right)$

D. $\left(SBD\right)$

b) Số đo của góc nhị diện $\left[A,SO,M\right]$ bằng:

A. ${30}^o$

B. ${45}^o$

C. ${135}^o$

D. ${150}^o$

c) Khoảng cách giữa hai đường thẳng $SO$ và $BC$ bằng:

A. $a$

B. $\frac{a}{2}$

C. $\frac{a\sqrt{2}}{2}$

D. $\frac{a\sqrt{3}}{2}$

d) Thể tích của khối chóp $S.ABCD$ bằng:

A. $a^3$

B. $\frac{a^3}{2}$

C. $\frac{a^3}{3}$

D. $3a^3$

e) Khoảng cách từ $C$ đến mặt phẳng $\left(SOM\right)$ bằng:

A. $a$

B. $\frac{a}{2}$

C. $\frac{a\sqrt{2}}{2}$

D. $\frac{a\sqrt{3}}{2}$

g) Côtang của góc giữa đường thẳng $SM$ và $\left(ABCD\right)$ bằng:

A. $\frac{1}{2}$

B. $2$

C. $1$

D. $\frac{\sqrt{5}}{5}$

Lời giải chi tiết

a) Do $S.ABCD$ là hình chóp tứ giác đều, ta suy ra $ABCD$ là hình vuông. Điều này suy ra $AC\mathrm{\perp }BD$.

Hơn nữa, do $SO\mathrm{\perp }\left(ABCD\right)$ nên $SO\mathrm{\perp }AC$.

Như vậy, do $AC\mathrm{\perp }BD$, $SO\mathrm{\perp }AC$ nên $AC\mathrm{\perp }\left(SBD\right)$

Đáp án đúng là D.

b) Do $SO\mathrm{\perp }\left(ABCD\right)$, ta suy ra $SO\mathrm{\perp }AO$ và $SO\mathrm{\perp }OM$. Do đó, góc $\widehat{AOM}$ là góc phẳng nhị diện của góc nhị diện $\left[A,SO,M\right]$.

Do $M$ là trung điểm của $CD$, và tam giác $COD$ vuông cân tại $O$, ta suy ra $\widehat{MOD}={45}^o$ và $OM\mathrm{\perp }CD$. Do đó $\widehat{AOM}=\widehat{AOD}+\widehat{MOD}={90}^o+{45}^o={135}^o$.

Vậy số đo của góc nhị diện $\left[A,SO,M\right]$ là ${135}^o$.

Đáp án đúng là C.

c) Gọi $N$ là trung điểm của $BC$. Tam giác $OBC$ vuông cân tại $O$, nên ta có $ON\mathrm{\perp }BC$. Hơn nữa, do $SO\mathrm{\perp }\left(ABCD\right)$, nên $SO\mathrm{\perp }ON$.

Vậy $ON$ là đường vuông góc chung của $SO$ và $BC$, do đó khoảng cách giữa hai đường thẳng $SO$ và $BC$ là đoạn thẳng $ON$.

Dễ dàng chứng minh được $ON=\frac{1}{2}AB=\frac{a}{2}$, vậy khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau $SO$ và $BC$ bằng $\frac{a}{2}$.

Đáp án đúng là B.

d) Thể tích khối chóp $S.ABCD$ là $V=\frac{1}{3}Sh=\frac{1}{3}A{B}^2.SO=\frac{1}{3}{a}^2.a=\frac{a^3}{3}$.

Đáp án đúng là C.

e) Do $SO\mathrm{\perp }\left(ABCD\right)$, ta suy ra $SO\mathrm{\perp }CM$, mà theo câu b, ta suy ra $CM\mathrm{\perp }OM$.

Từ đó ta có $CM\mathrm{\perp }\left(SOM\right)$. Như vậy $M$ là hình chiếu của $C$ trên $\left(SOM\right)$, từ đó khoảng cách từ $C$ đến $\left(SOM\right)$ là đoạn thẳng $CM$. Do $CM=\frac{1}{2}CD=\frac{a}{2}$, nên khoảng cách từ $C$ đến $\left(SOM\right)$ bằng $\frac{a}{2}$.

Đáp án đúng là B.

g) Do $O$ là hình chiếu của $S$ trên $\left(ABCD\right)$, ta suy ra góc giữa đường thẳng $SM$ và mặt phẳng $\left(ABCD\right)$ là góc $\widehat{SMO}$.

Ta có $\cot \widehat{SMO}=\frac{OM}{SO}=\frac{\frac{a}{2}}{a}=\frac{1}{2}$.

Vậy côtang của góc giữa đường thẳng $SM$ và mặt phẳng $\left(ABCD\right)$ bằng $\frac{1}{2}$.

Đáp án đúng là A.