Đề thi giữa kì 2 Toán 11 Chân trời sáng tạo - Đề số 1

Góc giữa hai đường thẳng có số đo không vượt quá 90⁰.

Nếu một đường thẳng vuông góc với một mặt phẳng thì nó vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng đó.

Với $a>0,a\ne 1$ thì ${\log }_{a}u\left(x\right)={\log }_{a}v\left(x\right)\iff \{\begin{array}{l}u\left(x\right)>0\\ u\left(x\right)=v\left(x\right)\end{array}$ (có thể thay $u\left(x\right)>0$ bằng $v\left(x\right)>0$)

Với a, b là số thực dương và $a\ne 1$ thì ${\log }_a{a}^b=b$.

Với $a>1$ thì $a^{u\left(x\right)}>a^{v\left(x\right)}\iff u\left(x\right)>v\left(x\right)$

Nếu một đường thẳng vuông góc với một mặt phẳng thì nó vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng đó.

Nếu $a>1$ thì $a^{\alpha }>a^{\beta }\iff \alpha >\beta$

Nếu $0<a<1$ thì $a^{\alpha }>a^{\beta }\iff \alpha <\beta$

$\sqrt[n]{a}.\sqrt[n]{b}=\sqrt[n]{ab}$ (với các biểu thức đều có nghĩa).

Xét xem đồ thị hàm số nào đi qua điểm $\left(-1;3\right)$ và (0;1) thì đó là đồ thị hàm số cần tìm.

Nếu $0<a<1$ thì ${\log }_{a}u\left(x\right)>{\log }_{a}v\left(x\right)\iff \{\begin{array}{l}u\left(x\right)>0\\ u\left(x\right)\le v\left(x\right)\end{array}$.

+ Nếu đường thẳng d vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau a và b cùng nằm trong mặt phẳng (P) thì $d\mathrm{\perp }\left(P\right)$.

+ Nếu một đường thẳng vuông góc với một mặt phẳng thì nó vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng đó.

Hai đường thẳng vuông góc với nhau nếu góc giữa chúng bằng ${90}^0$.

Hàm số $y=a^x\left(a>0,a\ne 1\right)$ được gọi là hàm số mũ cơ số a.

Có duy nhất một đường thẳng đi qua một điểm cho trước và vuông góc với một mặt phẳng cho trước.

Có duy nhất một mặt phẳng đi qua một điểm cho trước và vuông góc với một đường thẳng cho trước.

Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thì song song với nhau.

$a^{u\left(x\right)}=a^{v\left(x\right)}\iff u\left(x\right)=v\left(x\right)$

Cho n là một số nguyên dương. Với a là số thực tùy ý khác 0 thì $a^{-n}=\frac{1}{a^n}$.

Với a, b là số thực dương và $a\ne 1$ thì $a^{{\log }_{a}b}=b,{\log }_{a^{\alpha }}b=\frac{1}{\alpha }{\log }_{a}b;{\log }_a{b}^{\alpha }=\alpha {\log }_{a}b$.

Hàm số $y=a^x\left(a>0,a\ne 1\right)$ có tập xác định là $D=\left(-\mathrm{\infty };+\mathrm{\infty }\right)$.

Nếu $a>1$ thì hàm số $y={\log }_{2}x$ đồng biến trên $\left(0;+\mathrm{\infty }\right)$.

+ Góc giữa hai đường thẳng a và b trong không gian là góc giữa hai đường thẳng a’ và b’ cùng đi qua một điểm O và lần lượt song song (hoặc trùng) với a và b, kí hiệu $\left(a,b\right)$ hoặc $\widehat{\left(a;b\right)}$.

+ Góc giữa hai đường thẳng không vượt quá ${90}^0$.

${\log }_{a}b$ xác định khi và chỉ khi $a>0,a\ne 1,b>0$.

$a^{u\left(x\right)}=a^{v\left(x\right)}\iff u\left(x\right)=v\left(x\right)$

$a^{u\left(x\right)}=a^{v\left(x\right)}\iff u\left(x\right)=v\left(x\right)$

Cho phương trình $a^x=b\left(a>0,a\ne 1\right)$:

+ Nếu $b\le 0$ thì phương trình vô nghiệm.

+ Nếu $b>0$ thì phương trình có nghiệm duy nhất $x={\log }_{a}b$.

Lôgarit cơ số 10 của số thực dương b được gọi là lôgarit thập phân của b và kí hiệu logb hay lg b.

Lôgarit cơ số e của số thực dương b được gọi là lôgarit tự nhiên của b và kí hiệu ln b.

+ Nếu đường thẳng d vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau a và b cùng nằm trong mặt phẳng (P) thì $d\mathrm{\perp }\left(P\right)$.

+ Nếu một đường thẳng vuông góc với một mặt phẳng thì nó vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng đó.

Nếu hàm số $s=f\left(t\right)$ biểu thị quãng đường di chuyển của vật theo thời gian t thì $f^{\prime }\left(t_0\right)$ biểu thị tốc độ tức thời của chuyển động tại thời điểm $t_0$.

Cho hàm số $y=a^x\left(a>0,a\ne 1\right)$:

+ Nếu $a>1$ thì hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$.

+ Nếu $0<a<1$ thì hàm số nghịch biến trên $\mathbb{R}$.

Cho hàm số $y=f\left(x\right)$ xác định trên khoảng $\left(a;b\right)$, có đạo hàm tại $x_o\in \left(a;b\right)$. Đại lượng $\mathrm{\Delta }x=x-x_0$ gọi là số gia của biến tại $x_0$. Đại lượng $\mathrm{\Delta }y=f\left(x\right)-f\left(x_0\right)$ gọi là số gia tương ứng của hàm số. Khi đó, $x=x_0+\mathrm{\Delta }x$ và $f^{\prime }\left(x_0\right)=\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}\frac{f\left(x_0+\mathrm{\Delta }x\right)-f\left(x_0\right)}{\mathrm{\Delta }x}$.

+ Nếu đường thẳng d vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau a và b cùng nằm trong mặt phẳng (P) thì $d\mathrm{\perp }\left(P\right)$.

+ Nếu một đường thẳng vuông góc với một mặt phẳng thì nó vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng đó.

Nếu một đường thẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng song song thì nó vuông góc với đường thẳng còn lại.

Với a, b là số thực dương và $a\ne 1$ thì ${\log }_a{b}^{\alpha }=\alpha {\log }_{a}b,\log {}_{a}a=1$

Với a là số thực dương, $a\ne 1$, $M>0,N>0$ thì ${\log }_a\frac{M}{N}={\log }_{a}M-{\log }_{a}N$.

Đồ thị hàm số hàm số $y=a^x\left(a>0,a\ne 1\right)$ cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 1.

$a^m.a^n=a^{m+n};{\left(a^m\right)}^n=a^{mn},a^m:a^n=a^{m-n}$ (a khác 0).

+ Cho hàm số $u=g\left(x\right)$ có đạo hàm tại x là $u_x^{\prime }$ và hàm số $y=f\left(u\right)$ có đạo hàm tại u là $y_u^{\prime }$ thì hàm hợp $y=f\left(g\left(x\right)\right)$ có đạo hàm tại x là $y{}_x^{\prime }=y{}_u^{\prime }.u{}_x^{\prime }$.

+ $\sin u\left(x\right)=u^{\prime }\left(x\right)\cos u\left(x\right);\sqrt{u\left(x\right)}=\frac{u^{\prime }\left(x\right)}{2\sqrt{u\left(x\right)}}$.

Với a là số thực dương và m, n là hai số thực tùy ý thì ${\left(a^m\right)}^n=a^{m.n}$.

${\left(\sin x\right)}^{\prime }=\cos x$

${\left(x^{\alpha }\right)}^{\prime }=\alpha .x^{\alpha -1}$