Giải bài tập 9.36 trang 91 SGK Toán 9 tập 2 - Kết nối tri thức

Đề bài

Người ta muốn làm một khay đựng bánh kẹo hình lục giác đều có cạnh 10cm và chia thành 7 ngăn gồm một lục giác đều nhỏ và 6 hình thang cân như Hình 9.60. Hỏi lục giác đều nhỏ phải có cạnh bằng bao nhiêu để nó có diện tích bằng hai lần diện tích mỗi hình thang?

Lời giải chi tiết

Nối các cặp đỉnh đối diện của lục giác với nhau, ta được điểm O là tâm của hình lục giác lớn và lục giác nhỏ.

Ta chia hình lục giác thành 6 tam giác đều chung đỉnh O, 2 đỉnh còn lại là các đỉnh 2 đỉnh kề nhau của lục giác.

Lấy hai điểm A, B là hai đỉnh kề nhau của lục giác nhỏ như hình vẽ. Đặt AB = x (cm) $\left(0<x<10\right)$.

Khi đó $\mathrm{\Delta }AOB$ đều có $OA=OB=AB=x$ và $\hat{B}={60}^{\circ }$.

Kẻ $OH\mathrm{\perp }AB$. Dựa vào hệ thức giữa cạnh và góc trong tam giác vuông, ta có:

$OH=OB.\sin \widehat{OBA}=x.\sin {60}^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{2}x\left(cm\right)$

Suy ra $S_{\mathrm{\Delta }AOB}=\frac{OH.AB}{2}=\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}x.x}{2}=\frac{x^2\sqrt{3}}{4}\left(c{m}^2\right)$

Ta có diện tích hình lục giác đều nhỏ là:

S_{lục giác đều nhỏ} $=6.S_{\mathrm{\Delta }AOB}=6.\frac{x^2\sqrt{3}}{4}=\frac{3\sqrt{3}{x}^2}{2}\left(c{m}^2\right)$.

Theo đề bài, diện tích lục giác đều nhỏ bằng hai lần diện tích mỗi hình thang nên diện tích mỗi hình thang là:

S_{hình thang} = S_{lục giác đều nhỏ} : 2 = $\frac{3\sqrt{3}{x}^2}{2}:2=\frac{3\sqrt{3}{x}^2}{4}\left(c{m}^2\right)$,

suy ra tổng diện tích 6 hình thang là: $6.\frac{3\sqrt{3}{x}^2}{4}=\frac{9\sqrt{3}{x}^2}{2}\left(c{m}^2\right)$

Do đó, diện tích lục giác đều lớn là:

S_{lục giác đều lớn} = S_{lục giác đều nhỏ} + S_{6 hình thang} $=\frac{3\sqrt{3}{x}^2}{2}+\frac{9\sqrt{3}{x}^2}{2}=\frac{12\sqrt{3}{x}^2}{2}=6\sqrt{3}{x}^2\left(c{m}^2\right)$ (1)

Mà tương tự như S_{lục giác đều nhỏ}, ta cũng có thể tính được diện tích lục giác đều theo độ dài cạnh của nó theo công thức $S=\frac{3\sqrt{3}{x}^2}{2}\left(c{m}^2\right)$ với x là độ dài cạnh.

Suy ra S_{lục giác đều lớn}  $=\frac{3\sqrt{3}{.10}^2}{2}=150\sqrt{3}\left(c{m}^2\right)$ (2)

Từ (1) và (2), ta có phương trình: $6\sqrt{3}{x}^2=150\sqrt{3}$

suy ra $x^2=25$, do đó $x=5$(thỏa mãn vi $0<x<10$).

Vậy cạnh của lục giác đều nhỏ là 5cm.