Giải bài tập 6 trang 127 SGK Toán 9 tập 2 - Kết nối tri thức

Đề bài

Với mỗi giá trị đã cho của m, hãy giải hệ phương trình sau: $\{\begin{array}{l}x\sqrt{2}-3y=m\\ m^{2}x-3y\sqrt{2}=2\end{array}$.

a) $m=\sqrt{2}$;

b) $m=-\sqrt{2}$;

c) $m=2\sqrt{2}$.

Lời giải chi tiết

a) Với $m=\sqrt{2}$ thay vào hệ phương trình ta có: $\{\begin{array}{l}x\sqrt{2}-3y=\sqrt{2}\\ {\left(\sqrt{2}\right)}^{2}x-3y\sqrt{2}=2\end{array}$ (I)

Nhân hai vế của phương trình thứ nhất của hệ phương trình (I) với $\sqrt{2}$ ta có: $\{\begin{array}{l}2x-3\sqrt{2}y=2\\ 2x-3y\sqrt{2}=2\end{array}$

Trừ từng vế của hệ phương trình mới ta được $0=0$ (luôn đúng). Hệ thức này luôn thỏa mãn với các giá trị tùy ý của x và y.

Với giá trị tùy ý của x, giá trị của y được tính nhờ hệ thức $x\sqrt{2}-3y=\sqrt{2}$, suy ra $y=\frac{x\sqrt{2}-\sqrt{2}}{3}$.

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là $\left(x;\frac{x\sqrt{2}-\sqrt{2}}{3}\right)$ với $x\in \mathbb{R}$.

b) Với $m=-\sqrt{2}$ thay vào hệ phương trình ta có: $\{\begin{array}{l}x\sqrt{2}-3y=-\sqrt{2}\\ {\left(-\sqrt{2}\right)}^{2}x-3y\sqrt{2}=2\end{array}$ (I)

Nhân hai vế của phương trình thứ nhất của hệ phương trình (I) với $\sqrt{2}$ ta có: $\{\begin{array}{l}2x-3\sqrt{2}y=-2\\ 2x-3y\sqrt{2}=2\end{array}$

Trừ từng vế của hệ phương trình mới ta được $0=-4$ (vô lí). Vậy hệ phương trình đã cho vô nghiệm.

c) Với $m=2\sqrt{2}$ thay vào hệ phương trình ta có: $\{\begin{array}{l}x\sqrt{2}-3y=2\sqrt{2}\\ {\left(2\sqrt{2}\right)}^{2}x-3y\sqrt{2}=2\end{array}$ (I)

Nhân hai vế của phương trình thứ nhất của hệ phương trình (I) với $\sqrt{2}$ ta có: $\{\begin{array}{l}2x-3\sqrt{2}y=4\\ 8x-3y\sqrt{2}=2\end{array}$

Trừ từng vế của hệ phương trình mới ta được $-6x=2$, suy ra $x=\frac{-1}{3}$.

Thay $x=\frac{-1}{3}$ vào phương trình $x\sqrt{2}-3y=2\sqrt{2}$ ta có: $\frac{-1}{3}.\sqrt{2}-3y=2\sqrt{2}$, suy ra $y=\frac{-7\sqrt{2}}{9}$.

Vậy hệ phương trình có nghiệm $\left(\frac{-1}{3};\frac{-7\sqrt{2}}{9}\right)$.