Giải bài tập 5 trang 124 SGK Toán 9 tập 1 - Cánh diều

Đề bài

Cho hai đường tròn $\left(I;r\right)$ và $\left(K;R\right)$ tiếp xúc ngoài với nhau tại $P$ với $R\ne r$, đường thẳng $a$ lần lượt tiếp xúc với $\left(I;r\right)$ và $\left(K;R\right)$ tại $A$ và $B,a$ cắt $KI$ tại $O$. Đường thẳng qua $P$ vuông góc với $IK$ cắt đường thẳng $a$ tại $M$. Chứng minh:

a) $\frac{OI}{OK}=\frac{r}{R}$;

b) $AB=2MP$;

c) $\widehat{IMK}={90}^{\circ }$.

Lời giải chi tiết

a) Do $AI$ là tiếp tuyến của $\left(I\right)$ nên $AI\mathrm{\perp }AB$

Do $BK$ là tiếp tuyến của $\left(K\right)$ nên $KB\mathrm{\perp }AB$

Từ đó suy ra $AI//BK$

Xét tam giác $OBK$ có: $AI//BK\Rightarrow \frac{OI}{OK}=\frac{AI}{BK}=\frac{r}{R}$ (định lí Thalet).

b) Xét $\left(I\right)$ có $MP,MA$ là hai tiếp tuyến cắt nhau

$\Rightarrow MP=MA$(1).

Xét $\left(K\right)$ có $MP,MB$ là hai tiếp tuyến cắt nhau

$\Rightarrow MP=MB$(2).

Từ (1) và (2) suy ra $MP+MP=MA+MB\Rightarrow 2MP=AB$

c) Do $AI//BK\Rightarrow \widehat{OIA}=\widehat{IKB}$ (2 góc đồng vị).

Mà $\widehat{AIK}+\widehat{OAI}={180}^{\circ }$ (2 góc kề bù) nên $\widehat{AIK}+\widehat{IKB}={180}^{\circ }$ (3).

Do $MP,MA$ là hai tiếp tuyến cắt nhau

$\Rightarrow IM$ là phân giác $\widehat{AIP}\Rightarrow \widehat{MIP}=\frac{1}{2}\widehat{AIP}$ (4).

Do $MP,MB$ là hai tiếp tuyến cắt nhau

$\Rightarrow KM$ là phân giác $\widehat{IKP}\Rightarrow \widehat{MKP}=\frac{1}{2}\widehat{IKP}$ (5).

Từ (3), (4) và (5) suy ra $\frac{1}{2}\widehat{AIP}+\frac{1}{2}\widehat{IKP}=\frac{1}{2}{.180}^{\circ }\Rightarrow \widehat{MIP}+\widehat{MKP}={90}^{\circ }$

Xét tam giác $IMK$ có: $\widehat{MIP}+\widehat{MKP}={90}^{\circ }\Rightarrow \widehat{IMK}={90}^{\circ }$