Lý thuyết Căn thức bậc hai Toán 9 Cùng khám phá

1. Căn thức bậc hai

Khái niệm căn thức bậc hai

Ví dụ: $\sqrt{2x-1}$, $\sqrt{-\frac{1}{3}x+2}$ là các căn thức bậc hai.

Lưu ý:

$\sqrt{A}$ xác định (hay có nghĩa) khi A lấy giá trị không âm.

Ví dụ: Căn thức $\sqrt{2x+1}$ xác định khi $2x+1\ge 0$ hay $x\ge -\frac{1}{2}$.

2. Căn thức bậc hai của một bình phương

Ví dụ: Với $x<0$, ta có 1 – x > 0. Do đó ${\left(\sqrt{1-x}\right)}^2=1-x$.

3. Căn thức bậc hai của một tích

Lưu ý:

- Tính chất trên có thể mở rộng cho tích của nhiều biểu thức không âm.

Với các biểu thức không âm A, B, C, ta có: $\sqrt{A.B.C}=\sqrt{A}.\sqrt{B}.\sqrt{C}$

- Với biểu thức A không âm, ta có: $\sqrt{A^2}={\left(\sqrt{A}\right)}^2=A$.

Ví dụ: Với $a\ge 0,b<0$ thì $\sqrt{25a^2{b}^2}=\sqrt{5^2.a^2.{\left(-b\right)}^2}=\sqrt{5^2}.\sqrt{a^2}.\sqrt{{\left(-b\right)}^2}=5.a.\left(-b\right)=-5ab$.

4. Căn thức bậc hai của một thương

Ví dụ: $\sqrt{\frac{49}{64}}=\frac{\sqrt{49}}{\sqrt{64}}=\frac{7}{8}$;

$\sqrt{\frac{4a^2}{25}}=\frac{\sqrt{4a^2}}{\sqrt{25}}=\frac{\sqrt{4}.\sqrt{a^2}}{\sqrt{25}}=\frac{2\left|a\right|}{5}$;

$\frac{\sqrt{8}}{\sqrt{2}}=\sqrt{\frac{8}{2}}=\sqrt{4}=2$;

Với $a>0$ thì $\frac{\sqrt{52a^3}}{\sqrt{13a}}=\sqrt{\frac{52a^3}{13a}}=\sqrt{4a^2}=\sqrt{{\left(2a\right)}^2}=2a$.

5. Trục căn thức ở mẫu

Ví dụ:

$\frac{2}{3\sqrt{5}}=\frac{2\sqrt{5}}{3{\left(\sqrt{5}\right)}^2}=\frac{2\sqrt{5}}{3.5}=\frac{2\sqrt{5}}{15}$;

$\frac{a}{3-2\sqrt{2}}=\frac{a\left(3+2\sqrt{2}\right)}{\left(3-2\sqrt{2}\right).\left(3+2\sqrt{2}\right)}=\frac{a\left(3+2\sqrt{2}\right)}{3^2-{\left(2\sqrt{2}\right)}^2}=\frac{a\left(3+2\sqrt{2}\right)}{9-8}=\left(3+2\sqrt{2}\right)a$.