Giải mục 1 trang 16, 17 SGK Toán 9 tập 2 - Cùng khám phá

HĐ1

Trả lời câu hỏi Hoạt động 1 trang 16 SGK Toán 9 Cùng khám phá

Xét phương trình $a{x}^2+bx+c=0(a\ne 0)$. Giả sử phương trình có nghiệm x₁, x₂, so sánh S = x₁ + x₂ và $-\frac{b}{a}$, $P=x_1{x}_2$ và $\frac{c}{a}$.

Phương pháp giải:

Dựa vào: Cho phương trình $a{x}^2+bx+c=0(a\ne 0)$ và biệt thức $\mathrm{\Delta }=b^2-4ac$.

Nếu $\mathrm{\Delta }$ > 0 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt:

$x_1=\frac{-b+\sqrt{\mathrm{\Delta }}}{2a},x_2=\frac{-b-\sqrt{\mathrm{\Delta }}}{2a}$

Lời giải chi tiết:

Ta có S = x₁ + x₂ = $\frac{-b+\sqrt{\mathrm{\Delta }}}{2a}+\frac{-b-\sqrt{\mathrm{\Delta }}}{2a}=-\frac{b}{a}$

$P=x_1{x}_2=\frac{-b+\sqrt{\mathrm{\Delta }}}{2a}.\frac{-b-\sqrt{\mathrm{\Delta }}}{2a}=\frac{c}{a}$ .

LT1

Trả lời câu hỏi Luyện tập 1 trang 16 SGK Toán 9 Cùng khám phá

Không giải phương trình, chứng minh phương trình $x^2+3x-6=0$ có hai nghiệm phân biệt x₁ , x₂ và tính M = x₁ + x₂ - x₁x₂ .

Phương pháp giải:

Dựa vào: Nếu $x_1,x_2$ là hai nghiệm của phương trình $a{x}^2+bx+c=0(a\ne 0)$ thì:

$\{\begin{array}{c}S=x_1+x_2=-\frac{b}{a}\\ P=x_1{x}_2=\frac{c}{a}\end{array}$

Lời giải chi tiết:

Phương trình $x^2+3x-6=0$ có a = 1; b = 3, c = -6.

$\mathrm{\Delta }=3^2-4.1.(-6)=33>0$ nên phương trình có hai nghiệm phân biệt $x_1,x_2$.

Theo định lí Viète, ta có $S=x_1+x_2=-3,P=x_1{x}_2=3$.

Suy ra M = x₁ + x₂ - x₁x₂ = - 3 – 3 = - 6.

LT2

Trả lời câu hỏi Luyện tập 2 trang 17 SGK Toán 9 Cùng khám phá

Cho phương trình $x^2-2\sqrt{5}x+3=0$

a) Không giải phương trình, chứng minh phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt x₁ , x₂ .

b) Tính $\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2};{x_1}^2+{x_2}^2.$

Phương pháp giải:

Dựa vào: Nếu $x_1,x_2$ là hai nghiệm của phương trình $a{x}^2+bx+c=0(a\ne 0)$ thì:

$\{\begin{array}{c}S=x_1+x_2=-\frac{b}{a}\\ P=x_1{x}_2=\frac{c}{a}\end{array}$

Lời giải chi tiết:

a) Phương trình $x^2-2\sqrt{5}x+3=0$ có a = 1; b = $-2\sqrt{5}$, c = 3.

$\mathrm{\Delta }=(-2\sqrt{5}{)}^2-4.1.3=8>0$ nên phương trình có hai nghiệm phân biệt $x_1,x_2$.

b) Theo định lí Viète, ta có $S=x_1+x_2=2\sqrt{5},P=x_1{x}_2=3$.

Suy ra $\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=\frac{x_1+x_2}{x_1{x}_2}=\frac{2\sqrt{5}}{3}$.

Ta có ${\left(x_1+x_2\right)}^2={x_1}^2+2x_1{x}_2+{x_2}^2$

Suy ra ${x_1}^2+{x_2}^2={\left(x_1+x_2\right)}^2-2x_1{x}_2=(2\sqrt{5}{)}^2-2.3=14.$

HĐ2

Trả lời câu hỏi Hoạt động 2 trang 17 SGK Toán 9 Cùng khám phá

Cho phương trình $3x^2-7x+4=0$

a) Xác định hệ số a, b, c rồi tính a + b + c.

b) Chứng minh $x_1=1$ là một nghiệm của phương trình.

c) Áp dụng định lí Viète để tìm nghiệm x₂.

2. Cho phương trình $2x^2+5x+3=0$

a) Xác định hệ số a, b, c rồi tính a - b + c.

b) Chứng minh $x_1=-1$ là một nghiệm của phương trình.

c) Tìm nghiệm x₂.

Phương pháp giải:

Xác định a, b, c sau đó thay x = 1 vào phương trình kiểm tra xem thỏa mãn không.

Dựa vào: Nếu $x_1,x_2$ là hai nghiệm của phương trình $a{x}^2+bx+c=0(a\ne 0)$ thì:

$\{\begin{array}{c}S=x_1+x_2=-\frac{b}{a}\\ P=x_1{x}_2=\frac{c}{a}\end{array}$

Lời giải chi tiết:

1a) Phương trình có a = 3, b = - 7, c = 4

Suy ra a + b + c = 3 – 7 + 4 = 0.

1b) Thay x = 1 vào phương trình $3x^2-7x+4=0$ ta được:

3. 1² – 7.1 + 4 = 0 (TM)

Vậy $x_1=1$ là một nghiệm của phương trình.

1c) Theo định lí Viète ta có $S=x_1+x_2=-\frac{b}{a}=\frac{7}{3}$.

Mà $x_1=1$ suy ra $x_2=\frac{7}{3}-1=\frac{4}{3}$.

2a) Phương trình có a = 2, b = 5, c = 3

Suy ra a - b + c = 2 – 5 + 3 = 0.

2b) Thay x = -1 vào phương trình $2x^2+5x+3=0$ ta được:

2. (-1)² + 5.(-1) + 3 = 0 (TM)

Vậy $x_1=-1$ là một nghiệm của phương trình.

2c) Theo định lí Viète ta có $S=x_1+x_2=-\frac{b}{a}=-\frac{5}{2}$.

Mà $x_1=-1$ suy ra $x_2=-\frac{5}{2}-1=-\frac{7}{2}$.

LT3

Trả lời câu hỏi Luyện tập 3 trang 17 SGK Toán 9 Cùng khám phá

Tính nhẩm nghiệm của các phương trình sau:

a) $-5x^2+2x+3=0$

b) $4x^2+27x+23=0$

c) $6,8t^2-4,7x-2,1=0$

Phương pháp giải:

Dựa vào: Cho phương trình $a{x}^2+bx+c=0(a\ne 0)$.

- Nếu a + b + c = 0 thì phương trình có nghiệm $x_1=1$ và $x_2=\frac{c}{a}$.

- Nếu a – b + c = 0 thì phương trình có nghiệm $x_1=-1$ và $x_2=-\frac{c}{a}$.

Lời giải chi tiết:

a) $-5x^2+2x+3=0$

Phương trình có a = - 5, b = 2, c = 3.

Vì a + b + c = - 5 + 2 + 3 = 0 nên phương trình có nghiệm $x_1=1$ và $x_2=-\frac{3}{5}$.

b) $4x^2+27x+23=0$

Phương trình có a = 4, b = 27, c = 23.

Vì a - b + c = 4 - 27 + 23 = 0 nên  phương trình có nghiệm $x_1=-1$ và $x_2=-\frac{23}{4}$.

c) $6,8t^2-4,7x-2,1=0$

Phương trình có a = - 5, b = 2, c = 3.

Vì a + b + c = 6,8 – 4,7 – 2,1 = 0 nên phương trình có nghiệm $x_1=1$ và $x_2=\frac{2,1}{6,8}=\frac{21}{68}$.