Đề thi vào 10 môn Toán TP Hồ Chí Minh năm 2019

Đề bài

Bài 1 (1,5 điểm):

Cho parabol $\left(P\right):y=-{\displaystyle \frac{1}{2}}{x}^2$ và đường thẳng $\left(d\right):y=x-4$

a) Vẽ $\left(P\right)$ và $\left(d\right)$ trên cùng hệ trục tọa độ.

b) Tìm tọa độ giao điểm của $\left(P\right)$ và $\left(d\right)$ bằng phép tính.

Bài 2 (1,0 điểm): Cho phương trình: $2x^2-3x-1=0$ có 2 nghiệm là $x_1;x_2.$

Không giải phương trình, hãy tính giá trị của biểu thức:  $A={\displaystyle \frac{x_1-1}{x_2+1}}+{\displaystyle \frac{x_2-1}{x_1+1}}.$

Bài 3 (0,75 điểm):

Quy tắc sau đây cho ta biết được ngày $n$ , tháng $t$ , năm 2019 là ngày thứ mấy trong tuần.

Đầu tiên, ta tính giá trị của biểu thức $T=n+H,$ ở đây $H$ được xác định bởi bảng sau:

Sau đó, lấy $T$ chia có 7 ta được số dư $r\left(0\le r\le 6\right).$

Ví dụ:

+ Ngày $31/12/2019$ có $n=31;t=12;H=0\Rightarrow T=31+0=31;$ Số 31 chia cho 7 có số dư là 3, nên ngày đó là thứ Ba.

a) Em hãy sử dụng quy tắc trên để xác định các ngày $02/09/2019$ và $20/11/2019$ là thứ mấy?

b) Bạn Hằng tổ chức sinh nhật của mình trong tháng $10/2019$ . Hỏi sinh nhật của bạn Hằng là ngày mấy? Biết ngày sinh nhật của Hằng là một bội số của 3 và là thứ Hai.

Bài 4 (0,75 điểm):

Tại bề mặt đại dương, áp suất nước bằng áp suất khí quyển và là 1 atm (atmosphere). Bên dưới mặt nước, áp suất nước tăng thêm 1 atm cho mỗi 10 mét sâu xuống. Biết rằng mối liên hệ giữa áp suất $y\left(atm\right)$ và độ sâu $x\left(m\right)$ dưới mặt nước là một hàm số bậc nhất có dạng $y=ax+b$.

a) Xác định các hệ số $a$ và $b$

b) Một người thợ lặn đang ở độ sâu bao nhiêu nếu người ấy chịu một áp suất là $2,85atm?$

Bài 5 (1,0 điểm)

Một nhóm gồm 31 bạn học sinh tổ chức một chuyến đi du lịch (chi phí chuyến đi được chia đều cho mỗi bạn tham gia). Sau khi đã hợp đồng xong, vào giờ chót có 3 bạn lại bận việc đột xuất không đi được nên họ không đóng tiền. Cả nhóm thống nhất mỗi bạn còn lại sẽ đóng thêm 18 000 đồng so với dự kiến ban đầu để bù lại cho 3 bạn không tham gia. Hỏi tổng chi phí chuyến đi là bao nhiêu?

Bài 7 (1,0 điểm)

Bạn Dũng trung bình tiêu thụ 15 ca-lo cho mỗi phút bơi và 10 ca-lo cho mỗi phút chạy bộ. Hôm nay, Dũng mất 1,5 giờ cho cả hai hoạt động trên và tiêu thụ hết 1200 ca-lo. Hỏi hôm nay, bạn Dũng mất bao nhiêu thời gian cho mỗi hoạt động?

Bài 8 (3 điểm)

Cho tam giác nhọn $ABC\left(AB<AC\right)$ nội tiếp đường tròn $\left(O\right)$. Hai đường cao $BD$ và $CE$ của tam giác $ABC$ cắt nhau tại $H.$ Đường thẳng $AH$ cắt $BC$ và $\left(O\right)$ lần lượt tại $F$ và $K\left(K\ne A\right).$ Gọi $L$ là hình chiếu của $D$ lên $AB.$

a) Chứng minh rằng tứ giác $BEDC$ nội tiếp và $B{D}^2=BL.BA$

b) Gọi $J$ là giao điểm của $KD$ và $\left(O\right),(J\ne K).$ Chứng minh $\mathrm{\angle }BJK=\mathrm{\angle }BDE.$

c) Gọi $I$ là giao điểm của $BJ$ và $ED.$ Chứng minh tứ giác $ALIJ$ nội tiếp và $I$ là trung điểm của $ED.$

Lời giải chi tiết

Bài 1

Phương pháp:

a) Lập bảng giá trị, vẽ hai đồ thị hàm số trên cùng một hệ trục tọa độ.

b) Giải phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị để tìm hoành độ giao điểm. Thay hoành độ giao điểm vừa tìm được vào một trong hai công thức hàm số để tìm tung độ của giao điểm rồi kết luận tọa độ giao điểm.

Cách giải:

a) Vẽ $\left(P\right)$ và $\left(d\right)$ trên cùng hệ trục tọa độ.

b) Tìm tọa độ giao điểm của $\left(P\right)$ và $\left(d\right)$ bằng phép tính.

Xét phương trình hoành độ giao điểm

$\begin{array}{l}-{\displaystyle \frac{1}{2}}{x}^2=x-4\iff -x^2=2x-8\iff x^2+2x-8=0\\ \iff x^2-2x+4x-8=0\iff x\left(x-2\right)+4\left(x-2\right)=0\\ \iff \left(x-2\right)\left(x+4\right)=0\iff [\begin{array}{c}x=2\Rightarrow y=-2\\ x=-4\Rightarrow y=-8\end{array}\end{array}$

Vậy giao điểm của  $\left(P\right)$ và $\left(d\right)$ là $\left(2;-2\right),\left(-4;-8\right)$.

Bài 2

Phương pháp:

Áp dụng định lý Vi-et để tính giá trị của biểu thức.

Cách giải:

Ta có:$x_1,x_2\ne -1$ vì $2.{\left(-1\right)}^2-3.\left(-1\right)-1=4\ne 0$.

Ta có:

$\begin{array}{l}A={\displaystyle \frac{x_1-1}{x_2+1}}+{\displaystyle \frac{x_2-1}{x_1+1}}={\displaystyle \frac{\left(x_1-1\right)\left(x_1+1\right)+\left(x_2-1\right)\left(x_2+1\right)}{\left(x_2+1\right)\left(x_1+1\right)}}\\ ={\displaystyle \frac{x_1^2-1+x_2^2-1}{x_1{x}_2+x_1+x_2+1}}={\displaystyle \frac{{\left(x_1+x_2\right)}^2-2x_1{x}_2-2}{x_1{x}_2+\left(x_1+x_2\right)+1}}\end{array}$

Theo định lý Vi – et ta có: $\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2=-{\displaystyle \frac{b}{a}}={\displaystyle \frac{3}{2}}\\ x_1{x}_2={\displaystyle \frac{c}{a}}=-{\displaystyle \frac{1}{2}}\end{array}$ , thay vào $A$ được:

$A={\displaystyle \frac{{\left({\displaystyle \frac{3}{2}}\right)}^2-2.\left(-{\displaystyle \frac{1}{2}}\right)-2}{-{\displaystyle \frac{1}{2}}+{\displaystyle \frac{3}{2}}+1}}={\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{9}{4}}+1-2}{1+1}}={\displaystyle \frac{5}{8}}$.

Vậy $A={\displaystyle \frac{5}{8}}$.

Bài 3

Phương pháp:

Sử dụng tính chất chia hết.

Cách giải:

a) +) Ngày $02/09/2019$ có $n=2;t=9$,$H=0\Rightarrow T=n+H=2+0=2$

Lấy $T=2$ chia cho $7$ ta được số dư là $2$ nên ngày $02/09/2019$ là ngày thứ hai.

+) Ngày $20/11/2019$ có $n=20;t=11$ suy ra $H=-2\Rightarrow T=n+H=20+\left(-2\right)=18$

Lấy $T=18$ chia cho $7$ ta được số dư là $4$ nên ngày $20/11/2019$ là ngày thứ tư.

b) Gọi ngày sinh của bạn Hằng là $x\left(1\le x\le 30;x\in \mathbb{N}\right)$

Vì bạn Hằng sinh tháng 10 nên $t=10\Rightarrow H=2\Rightarrow T=n+H=x+2$

Lại có ngày sinh của bạn Hằng là ngày thứ hai nên ta có $T=x+2$ chia cho $7$ dư $2$

Hay $x$ chia hết cho $7$ suy ra $x$ là bội số của $7$ (1)

Lại có $x$ là một bội số của $3$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra $x$ là bội chung của $3$ và $7$ mà $1\le x\le 30$ suy ra $x=21.$

Vậy ngày sinh của bạn Hằng là $21/10/2019$

Bài 4

Phương pháp:

a) Dựa vào giả thiết bài toán suy ra các giá trị $x,y$ tương ứng, từ đó tìm $a,b.$

b) Thay $y=2,85$ vào hàm số đã tìm được ở ý a) để tìm $x.$

Cách giải:

a) $y=ax+b$ 

Tại bề mặt đại dương, áp suất nước là $1atm$ nên ta có: $1=a.0+b\iff b=1.$

Ở độ sâu $10m,$ áp suất nước tăng thêm $1atm$ nên ta có: $2=a.10+1\iff 10a=1\iff a={\displaystyle \frac{1}{10}}.$

Vậy $a={\displaystyle \frac{1}{10}},b=1.$

b) Ta có hàm số biểu thị mối liên hệ giữa áp suất và độ sau dưới mặt nước là: $y={\displaystyle \frac{1}{10}}x+1.$

Người thợ lặn chịu được áp suất $2,85atm$ nên ta có:

$2,85={\displaystyle \frac{1}{10}}.x+1\iff {\displaystyle \frac{1}{10}}x=1,85\iff x=18,5m.$

Vậy người thợ lặn ở độ sau $18,5m$ thì chịu được áp suất $2,85atm.$

Bài 5

Phương pháp:

Gọi số tiền mỗi bạn đóng ban đầu là $x$ (đồng) $\left(x>0\right)$.

Dựa vào giả thiết bài toán, biểu diễn các đại lượng chưa biết theo $x$ và lập phương trình.

Giải phương trình tìm $x,$ đối chiếu với điều kiện rồi kết luận.

Cách giải:

Gọi số tiền mỗi bạn đóng ban đầu là $x$ (đồng) $\left(x>0\right)$.

Số tiền mà $31$ bạn phải đóng là $31x$ (đồng).

Vào giờ chót, còn lại số bạn đi được là: $31-3=28$  (bạn)

Số tiền mỗi bạn phải đóng sau khi tăng là $x+18000$ (đồng)

Chi phí chuyến đi của $28$ bạn lúc sau là $28\left(x+18000\right)$.

Vì chi phí chuyến đi là không đổi nên ta có phương trình:

$\begin{array}{l}31x=28\left(x+18000\right)\\ \iff 31x-28x=28.18000\\ \iff 3x=504000\\ \iff x=168000\end{array}$

Vậy chi phí chuyến đi là: $31.168000=5208000$ đồng.

Bài 6

Phương pháp:

a) Độ dài đường kinh tuyến chính là nửa chu vi của đường tròn, từ đó tính bán kính Trái Đất.

Sử dụng công thức tính độ dài cung có số đo $n^0:l={\displaystyle \frac{\pi R{n}^0}{{180}^0}}.$

b) Độ dài đường xích đạo là chu vi của đường tròn: $C=2\pi R.$

Cách giải:

a) Ta có: $\mathrm{\angle }AOB=\mathrm{\angle }XOB-\mathrm{\angle }XOA={72}^0-{47}^0={25}^0.$

Độ dài của kinh tuyến là $20000km$ nên $\pi R=20000\Rightarrow R={\displaystyle \frac{20000}{\pi }}km.$

Như vậy khoảng cách hai vị trí mà các bạn lớp 9A chọn đi là độ dài cung nhỏ $AB$ như hình vẽ.

b) Bán kính Trái Đất là: $R={\displaystyle \frac{20000}{\pi }}\approx 6366,198\approx 6400km.$

$\Rightarrow$ Độ dài đường xích đạo là : $2\pi R=2\pi .{\displaystyle \frac{20000}{\pi }}=400000km.$

Thể tích của Trái Đất là: $V={\displaystyle \frac{4}{3}}.3,14.R^3={\displaystyle \frac{4}{3}}.3,{14.64000}^3=1,{0975.10}^{12}k{m}^3.$

Bài 7

Phương pháp:

Gọi thời gian bạn Dũng dành cho hoạt động bơi là $x$ (phút) (ĐK: $x>0$)

       thời gian bạn Dũng dành cho hoạt động chạy là $y$ (phút) (ĐK: $y>0$).

Dựa vào giả thiết bài toán, biểu diễn các đại lượng chưa biết theo $x,y$ và lập hệ phương trình.

Giải hệ  phương trình tìm $x,y,$ đối chiếu với điều kiện rồi kết luận.

Cách giải:

Gọi thời gian bạn Dũng dành cho hoạt động bơi là $x$ (phút) (ĐK: $x>0$)

       thời gian bạn Dũng dành cho hoạt động chạy là $y$ (phút) (ĐK: $y>0$).

Hôm nay bạn Dũng mất 1,5 giờ = 90 phút cho cả hai hoạt động nên ta có phương trình $x+y=90\left(1\right)$.

Lượng ca-lo tiêu thụ cho $x$ phút bơi là $15x\left(ca-lo\right)$.

Lượng ca-lo tiêu thụ cho $y$ phút chạy là $10y\left(ca-lo\right)$.

Cả 2 hoạt động trên trong 1,5h tiêu thụ hết 1200 ca-lo nên ta có phương trình $15x+10y=1200\left(2\right)$.

Từ (1) và (2) có hệ phương trình:

$\{\begin{array}{l}x+y=90\\ 15x+10y=1200\end{array}\iff \{\begin{array}{l}10x+10y=900\\ 15x+10y=1200\end{array}\iff \{\begin{array}{l}5x=300\\ y=90-x\end{array}\iff \{\begin{array}{l}x=60\\ y=90-60=30\end{array}\left(tm\right)$.

Vậy hôm nay bạn Dũng mất 60 phút để bơi và 30 phút để chạy.

Bài 8

Phương pháp:

a) Chứng minh tứ giác nội tiếp bằng dấu hiệu nhận biết.

b) Sử dụng định lý: Trong cùng một đường tròn, hai góc nội tiếp cùng chắn một cung thì có số đo bằng nhau.

Chứng minh các góc tương ứng bằng nhau.

c) Chứng minh các tứ giác nội tiếp rồi chứng minh các góc bằng nhau.

a) Xét tứ giác $BEDC$ có

+) $\mathrm{\angle }BEC={90}^{\circ }$ (do $CE\mathrm{\perp }AB$)

+) $\mathrm{\angle }BDC={90}^{\circ }$ (do $BD\mathrm{\perp }AC$)

Suy ra $\mathrm{\angle }BEC=\mathrm{\angle }BDC\left(={90}^{\circ }\right)$  nên tứ giác $BEDC$ có hai đỉnh $E,D$ kề nhau cùng nhìn cạnh $BC$ dưới các góc vuông, do đó tứ giác $BEDC$ là tứ giác nội tiếp.

b) Xét tam giác $ABC$ có hai đường cao $BD$ và $CE$ cắt nhau tại $H$ nên $H$ là trực tâm tam giác $ABC$ hay $AH\mathrm{\perp }BC\iff AF\mathrm{\perp }BC$

+) Xét tam giác $EBC$ vuông tại $E$ có $\mathrm{\angle }EBC+\mathrm{\angle }BCE={90}^{\circ }$  (1)

+) Xét tam giác $AFB$ vuông tại $F$ có $\mathrm{\angle }FBA+\mathrm{\angle }BAF={90}^{\circ }$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra $\mathrm{\angle }BCE=\mathrm{\angle }BAK$ (3) (cùng phụ với $\mathrm{\angle }ABF$)

Mà theo câu a) ta có tứ giác $BEDC$ là tứ giác nội tiếp nên $\mathrm{\angle }BDE=\mathrm{\angle }BCE$ (4)

Từ (3) và (4) suy ra $\mathrm{\angle }BDE=\mathrm{\angle }BAK$ (*)

Xét đường tròn $\left(O\right)$ có $\mathrm{\angle }BAK=\mathrm{\angle }BJK$ (**) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung $BK$)

Từ (*) và (**) ta suy ra $\mathrm{\angle }BJK=\mathrm{\angle }BDE$ (đpcm)

c)  Xét tam giác $BDJ$ và tam giác $BID$ có:

$\mathrm{\angle }BJK=\mathrm{\angle }BDE\left(cmt\right)$;

$\mathrm{\angle }DBJ$ chung;

Lại có $B{D}^2=BL.BA\left(cmt\right)$

$\Rightarrow BL.BA=BI.BJ\Rightarrow {\displaystyle \frac{BL}{BJ}}={\displaystyle \frac{BI}{BA}}$.

Xét tam giác $BLI$ và tam giác $BJA$ có:

$\Rightarrow \mathrm{\angle }BLI=\mathrm{\angle }BJA$  (hai góc tương ứng).

$\Rightarrow$ Tứ giác $ALIJ$ là tứ giác nội tiếp (Tứ giác có góc ngoài bằng góc trong tại đỉnh đối diện).

+) Tứ giác $BEDC$ là tứ giác nội tiếp (cmt) $\Rightarrow \mathrm{\angle }AED=\mathrm{\angle }ACB$.

Mà $\mathrm{\angle }ACB=\mathrm{\angle }BJA$ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung $AB$).

$\Rightarrow \mathrm{\angle }AED=\mathrm{\angle }BJA$ (6)

Từ (5) và (6) $\Rightarrow \mathrm{\angle }BLI=\mathrm{\angle }AED$ hay $\mathrm{\angle }ELI=\mathrm{\angle }LEI\Rightarrow \mathrm{\Delta }IEL$ cân tại $I\Rightarrow IL=IE$.

Ta có $\{\begin{array}{l}\mathrm{\angle }ILD={90}^0-\mathrm{\angle }ELI\\ \mathrm{\angle }IDL={90}^0-\mathrm{\angle }LEI\end{array}\Rightarrow \mathrm{\angle }ILD=\mathrm{\angle }IDL\Rightarrow \mathrm{\Delta }ILD$ cân tại $I\Rightarrow IL=ID$.

Vậy $IE=ID\Rightarrow I$ là trung điểm của $ED\left(dpcm\right)$.