Đề thi vào 10 môn Toán Yên Bái năm 2023

Đề bài

Câu 1: Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm số bậc nhất?

A. $y=\frac{1}{x^2}+3$.

B. $y=3x^2-2$.

C. $y=3x+2$.

D. $y=3x^2-1$.

Câu 2: Cho tam giác ABC vuông tại $A$, đường cao $AH\left(H\in BC\right)$. Khẳng định nào sau đây đúng?

A. $A{H}^2=BH.CH$.

B. $A{H}^2=B{H}^2.C{H}^2$.

C. $AH=\frac{BH}{CH}$.

D. $AH=BH.CH$.

Câu 3: Tứ giác ABCD có số đo $\mathrm{\angle }A={80}^{\circ },\mathrm{\angle }B={110}^{\circ },\mathrm{\angle }C={100}^{\circ }$. Số đo $\mathrm{\angle }D$ bằng:

A. ${100}^{\circ }$.

B. ${80}^{\circ }$.

C. ${110}^{\circ }$.

D. ${70}^{\circ }$.

Câu 4: Hai đường tròn phân biệt có số điểm chung nhiều nhất là

A. 1.

B. 0.

C. Vô số.

D. 2.

Câu 5: Phương trình nào sau đây là phương trình bậc hai một ẩn?

A. $2x-3=0$.

B. $x^4-2x^2=0$.

C. $x^3+3=0$.

D. $x^2-2x-3=0$.

Câu 6: Giá trị của $\sin {30}^{\circ }$ bằng

A. $\frac{1}{2}$.

B. $\frac{\sqrt{2}}{2}$.

C. $\frac{\sqrt{3}}{2}$.

D. $1$.

Câu 7: Cặp số $\left(1;2\right)$ là nghiệm của phương trình nào sau đây?

A. $3x-2y=7$.

B. $3x+2y=8$.

C. $3x+2y=7$.

D. $3x-2y=8$.

Câu 8: Công thức tính diện tích xung quanh của hình trụ là $S_{xq}=2\pi rh$. Diện tích xung quanh của hình trụ có bán kính đáy $r=2$, chiều cao $h=3$ là:

A. $S_{xq}=24\pi$(đvdt)

B. $S_{xq}=12\pi$(đvdt)

C. $S_{xq}=6\pi$(đvdt)

D. $S_{xq}=48\pi$(đvdt)

Câu 9: Đường thẳng $y=2x-1$ đi qua điểm nào sau đây?

A. $Q\left(1;-1\right)$.

B. $M\left(-1;-3\right)$.

C. $N\left(1;3\right)$.

D. $P\left(-3;-5\right)$.

Câu 10: Tập nghiệm của phương trình $x^2-4x+3=0$ là:

A. $\left\{1;3\right\}$.

B. $\left\{1;-3\right\}$.

C. $\left\{-1;-3\right\}$.

D. $\left\{-1;3\right\}$.

Câu 11: Ước chung lớn nhất của $6$ và $9$ là:

A. 9.

B. 6.

C. 3.

D. 18.

Câu 12: Cho $\mathrm{\Delta }ABC$ cân tại $A$. Khẳng định nào sau đây đúng?

A. $AB<AC$.

B. $AB\ne AC$.

C. $AB=AC$.

D. $AB>AC$.

Câu 13: Hệ số góc $a$ của đường thẳng $y=2x+3$ là

A. $a=\frac{1}{2}$.

B. $a=2$.

C. $a=\frac{1}{3}$.

D. $a=3$.

Câu 14: Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn là :

A. góc vuông.

B. góc tù.

C. góc nhọn.

D. góc bẹt.

Câu 15: Giá trị của biểu thức $\sqrt{9}+5$ bằng

A. 14.

B. 8.

C. 6.

D. 4.

Câu 16: Điều kiện xác định của $\sqrt{x-10}$ là

A. $x<10$.

B. $x<-10$.

C. $x\ge 10$.

D. $x\ne 10$.

Câu 17: Cho đường tròn $\left(O;12cm\right)$. Dây lớn nhất của đường tròn có độ dài bằng

A. $48cm$.

B. $144cm$.

C. $24cm$.

D. $12cm$.

Câu 18: Kết quả của phép tính $a^3.a^5$ bằng

A. $a^7$.

B. $a^9$.

C. $a^8$.

D. $a^{10}$.

Câu 19: Phân tích đa thức $x^2-5x$ thành nhân tử ta được

A. $x\left(5-x\right)$.

B. $x^2\left(x-5\right)$.

C. $x\left(x+5\right)$.

D. $x\left(x-5\right)$.

Câu 20: Trên đường tròn $\left(O\right)$ lấy hai điểm $A,B$ sao cho $\mathrm{\angle }AOB={60}^{\circ }$. Số đo cung nhỏ AB là:

A. ${30}^{\circ }$.

B. ${90}^{\circ }$.

C. ${120}^{\circ }$.

D. ${60}^{\circ }$.

Câu 21: Hệ phương trình $\{\begin{array}{l}3x-y=5\\ 5x+4y=14\end{array}$ có nghiệm là

A. $\left(-2;-1\right)$.

B. $\left(2;1\right)$.

C. $\left(2;-1\right)$.

D. $\left(-2;1\right)$.

Câu 22: Hàm số nào sau đây thỏa mãn $f\left(2\right)=f\left(-2\right)$?

A. $f\left(x\right)=\frac{-x+1}{2}$.

B. $f\left(x\right)=\frac{x}{2}+1$.

C. $f\left(x\right)=-\frac{x}{2}+2$.

D. $f\left(x\right)=\frac{x^2}{2}$.

Câu 23: Giá trị của tham số $m$ để đồ thị hàm số $y=\left(m-2\right)x^2$ đi qua điểm $P\left(1;-1\right)$ là

A. $m=-1$.

B. $m=1$.

C. $m=3$.

D. $m=-3$.

Câu 24: Cho phương trình $x^2-3x+2=0$. Tích các nghiệm của phương trình là:

A. $-2$.

B. $-3$.

C. $3$.

D. $2$.

Câu 25: Cho đường tròn $\left(O;15cm\right)$, dây $AB=24cm$. Khoảng cách từ $O$ đến dây AB là

A. $8cm$.

B. $9cm$.

C. $12cm$.

D. $10cm$.

Câu 26: Thể tích hình nón có chiều cao $h=2cm$ và bán kính đáy $r=3cm$ là

A. $V=8\pi c{m}^3$.

B. $V=12\pi c{m}^3$.

C. $V=6\pi c{m}^3$.

D. $V=4\pi c{m}^3$.

Câu 27: Cho đường tròn $\left(O\right)$ có diện tích bằng $64\pi c{m}^2$. Chu vi của đường tròn là

A. 8cm

B. $8\pi cm$

C. 16cm

D. $16\pi cm$

Câu 28: Khẳng định nào sau đây đúng?

A. $\sin {25}^{\circ }=\tan {65}^{\circ }$.

B. $\sin {25}^{\circ }=\cos {75}^{\circ }$.

C. $\sin {25}^{\circ }=\cos {65}^{\circ }$.

D. $\sin {25}^{\circ }=\cot {65}^{\circ }$.

Câu 29: Cho $a<0$. Kết quả rút gọn biểu thức $P=\frac{\sqrt{a^2}}{2}+\frac{3a}{2}$ là

A. 4a.

B. $\frac{3a}{2}$.

C. 2a.

D. $a$.

Câu 30: Tích các nghiệm của phương trình $\left(x-1\right)\left(x^2-4\right)=0$ là

A. $-4$.

B. $2$.

C. $4$.

D. $-2$.

Câu 31: Biết $\frac{x}{y}=\frac{3}{2}$ và $2x-y=8$. Khi đó giá trị của $y$ là

A. $-6$.

B. $6$.

C. $-4$.

D. $4$.

Câu 32: Rút gọn biểu thức $A=2\sqrt{3}a-\sqrt{48}a$ ta được

A. $A=-6\sqrt{3}a$.

B. $A=2\sqrt{3}a$.

C. $A=-2\sqrt{3}a$.

D. $A=6\sqrt{3}a$.

Câu 33: Trong hình bên, biết $\mathrm{\angle }AMO={30}^{\circ }$. Số đo $\mathrm{\angle }MOB$ là

A. ${30}^{\circ }$.

B. ${45}^{\circ }$.

C. ${120}^{\circ }$.

D. ${60}^{\circ }$.

Câu 34: Tập hợp $M=\left\{n\in \mathbb{N}\ast |n⋮3,n\le 30\right\}$ có số phần tử là

A. 8.

B. 9.

C. 11.

D. 10.

Câu 35: Xác định hàm số $y=ax+b$, biết đồ thị của hàm số đi qua hai điểm $A\left(-2;1\right),B\left(1;7\right)$

A. $y=2x+5$.

B. $y=3x+7$.

C. $y=3x+1$.

D. $y=x+3$.

Câu 36: Cho parabol $\left(P\right):y=x^2$ và đường thẳng . Tổng tất cả các giá trị của tham số $m$ để $\left(P\right)$ và $d$ cắt nhau tại hai điểm phân biệt $A\left(x_1;y_1\right)$ và $B\left(x_2;y_2\right)$ sao cho $y_1^2-y_2^2=8\left(x_1^2-x_2^2\right)$ là

A. $-4$.

B. $3$.

C. $4$.

D. $-3$.

Câu 37: Một sân trường hình chữ nhật có chu vi là 300m. Hai lần chiều dài hơn ba lần chiều rộng là 50m. Diện tích của sân trường là

A. $300m^2$.

B. $5000m^2$.

C. $2500m^2$.

D. $150m^2$.

Câu 38: Một cái cây ở phía sau bức tường cao 8m và cách bức tường 12m. Một người quan sát đứng trước bức tường ở vị trí chỉ nhìn thấy ngọn cây, khi đó góc nhìn so với phương ngang bằng ${40}^{\circ }$ (hình vẽ). Chiều cao của cây là (làm tròn đến chữ số thập phân)

A. 17,07m.

B. 18,07m.

C. 19,07m.

D. 16,07m

Câu 39: Cho đường tròn $\left(O\right)$ và dây $AB$, $M$ là điểm chính giữa của cung nhỏ $AB$. Lấy điểm $C$ thuộc đoạn $AB$, đường thẳng $MC$ cắt $\left(O\right)$ tại $D$ khác $M$, biết độ dài $MC=9cm,MD=16cm$ (tham khảo hình vẽ). Độ dài dây $MA$ là

A. $11cm$.

B. $25cm$.

C. $12cm$.

D. $10cm$.

Câu 40: Tích tất cả các nghiệm của phương trình $\sqrt{x^2-1}-x^2+1=0$ là

A. $-\sqrt{2}$.

B. $2$.

C. $\sqrt{2}$.

D. $-2$.

Câu 41: Cho đường tròn $\left(O;2cm\right)$. Từ điểm $M$ cách $O$ một khoảng 4cm, kẻ hai tiếp tuyến $MA,MB$ với ($A,B$ là hai tiếp điểm). Độ dài dây AB là

A. $2\sqrt{2}cm$.

B. $2\sqrt{3}cm$.

C. 3cm.

D. $\sqrt{3}cm$.

Câu 42: Gọi $\left(x_0;y_0\right)$ là nghiệm của hệ phương trình $\{\begin{array}{l}\frac{2}{x+y}+\frac{1}{x-y}=3\\ \frac{1}{x+y}-\frac{3}{x-y}=1\end{array}$.

Giá trị biểu thức $\frac{2}{7}{x}_0+\frac{2}{3}{y}_0$ là:

A. $1$.

B. $-1$.

C. $-3$.

D. $3$.

Câu 43: Cho tam giác ABC cân tại $A$, đường cao $BH\left(H\in AC\right)$. Biết $BH=4,\mathrm{\angle }B={65}^{\circ }$. Diện tích tam giác $ABC$ là (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ hai)

A. $10,44$(đvdt)

B. $10,45$(đvdt)

C. $5,23$(đvdt)

D. $5,22$ (đvdt)

Câu 44: Với giá trị dương nào của tham số $m$ thì khoảng cách từ gốc tọa độ $O$ đến đường thẳng $d:y=x+m-1$ bằng $\sqrt{2}$?

A. $m=1$.

B. $m=2$.

C. $m=3$.

D. $m=4$.

Câu 45: Cho phương trình $\left(m^2{x}^2+4x+1\right)\left(x-2023\right)=0$. Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ để phương trình đã cho có 3 nghiệm phân biệt?

A. 1.

B. 3.

C. 4.

D. 2.

Câu 46: Cho hai đường thẳng $d_1:y=\sqrt{3}x+2\sqrt{3},d_2:y=-\sqrt{3}x+2\sqrt{3}$. Đường thẳng $d_1$ cắt trục hoành tại $A,d_2$ cắt trục hoành tại $B;d_1,d_2$ cắt nhau tại $C$. Diện tích tam giác ABC là

A. $2\sqrt{3}$ (đvdt)

B. $4\sqrt{3}$ (đvdt)

C. $16\sqrt{3}$ (đvdt)

D. $8\sqrt{3}$ (đvdt)

Câu 47: Cho tam giác ABC cân tại $A$ có $AB=4,M\in AC,N\in AB$ sao $MN\parallel BC,\frac{AM}{MC}=\frac{2}{3}$.

Điểm $D\in MN$, đường thẳng BD cắt AC tại $P$, đường thẳng CD cắt AB tại $Q$. Khi đó $\frac{1}{BQ}+\frac{1}{CP}$ có giá trị là

A. $\frac{13}{20}$.

B. $\frac{32}{49}$.

C. $\frac{2}{3}$.

D. $\frac{3}{5}$.

Câu 48: Cho đường thẳng $d:y=\left(m^2+2m+3\right)x-1$. Gọi $A,B$ là giao điểm của đường thẳng $d$ với hai trục tọa độ, khi đó diện tích lớn nhất của tam giác OAB là

A. $\frac{1}{2}$.

B. $\frac{1}{8}$.

C. $\frac{1}{4}$.

D. $\frac{1}{3}$.

Câu 49: Cho phương trình $x^2+2x-m+5=0$. Tất cả các giá trị của tham số $m$ để phương trình đã cho có hai nghiệm âm phân biệt là:

A. $m<5$.

B. $m>4$.

C. $4<m<5$.

D. $-5<m<4$.

Câu 50: Phương trình $\frac{9}{x-\sqrt{x}-2}+\frac{2\sqrt{x}+5}{\sqrt{x}+1}-\frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}-2}=2\sqrt{x}+1$ với $x\ge 0,x\ne 4$ có nghiệm duy nhất dạng $x=a+b\sqrt{2}$ trong đó $a,b\in \mathbb{Z}$. Giá trị biểu thức $2a-b$ là

A. 3

B. 6

C. 4

D. 5

-----HẾT-----

---

Lời giải chi tiết

Câu 1 (NB):

Phương pháp:

Hàm số bậc nhất là hàm số có dạng $y=ax+b,a\ne 0$

Cách giải:

Ta có: hàm số bậc nhất là $y=3x+2$

Chọn C.

Câu 2 (NB):

Phương pháp:

Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác

Cách giải:

Ta có tam giác ABC vuông tại $A$, đường cao $AH\left(H\in BC\right)$

Suy ra $A{H}^2=BH.CH$

Chọn A.

Câu 3 (NB):

Phương pháp:

Tổng các góc trong tứ giác bằng ${360}^{\circ }$

Cách giải:

Ta có: $\mathrm{\angle }A+\mathrm{\angle }B+\mathrm{\angle }C+\mathrm{\angle }D={360}^{\circ }$

$\begin{array}{l}\Rightarrow {80}^{\circ }+{110}^{\circ }+{100}^{\circ }+\mathrm{\angle }D={360}^{\circ }\\ \Rightarrow \mathrm{\angle }D={360}^{\circ }-{100}^{\circ }-{110}^{\circ }-{80}^{\circ }\\ \Rightarrow \mathrm{\angle }D={70}^{\circ }\end{array}$

Chọn D.

Câu 4 (NB):

Phương pháp:

Vị trí tương đối của hai đường tròn: hai đường tròn phân biệt có nhiều nhất 2 điểm chung.

Cách giải:

Hai đường tròn phân biệt có nhiều nhất 2 điểm chung

Chọn D.

Câu 5 (TH):

Phương pháp:

Phương trình bậc hai một ẩn có dạng $a{x}^2+bx+c=0,a\ne 0$

Cách giải:

Phương trình bậc hai một ẩn là $x^2-2x-3=0$

Chọn D.

Câu 6 (TH):

Phương pháp:

Các góc lượng giác đặc biệt: $\sin {30}^{\circ }=\frac{1}{2}$

Cách giải:

Ta có: $\sin {30}^{\circ }=\frac{1}{2}$

Chọn A.

Câu 7 (NB):

Phương pháp:

Thay lần lượt cặp số $\left(1;2\right)$ vào các phương trình

Cách giải:

Thay $x=1;y=2$ vào $3x+2y=7$ ta được: $3.1+2.2=7$

Do đó cặp số $\left(1;2\right)$ là nghiệm của phương trình $3x+2y=7$

Chọn C.

Câu 8 (NB):

Phương pháp:

Công thức tính diện tích xung quanh của hình trụ là $S_{xq}=2\pi rh$.

Thay $r,h$ vào công thức đã cho

Cách giải:

Ta có: $S_{xq}=2\pi rh=2\pi .2.3=12\pi$(đvdt)

Chọn B.

Câu 9 (TH):

Phương pháp:

Thay tọa độ các điểm vào phương trình đường thẳng.

Cách giải:

Thay $x=-1;y=-3$ vào đường thẳng $y=2x-1$ ta được:$-3=2.\left(-1\right)-1$

Do đó đường thẳng $y=2x-1$ đi qua điểm $M\left(-1;-3\right)$

Chọn B.

Câu 10 (NB):

Phương pháp:

Đưa về phương trình tích A.B = 0

Cách giải:

Ta có: $x^2-4x+3=0\iff \left(x-1\right)\left(x-3\right)=0\iff [\begin{array}{l}x=1\\ x=3\end{array}$

Chọn A.

Câu 11 (NB):

Phương pháp:

Bước 1: Phân tích mỗi số ra thừa số nguyên tố.

Bước 2: Chọn ra các thừa số nguyên tố chung.

Bước 3: Lập tích các tích thừa số đã chọn, mỗi thừa số lấy với số mũ nhỏ nhất của nó.

Tích đó là ƯCLN phải tìm.

Cách giải:

Ta có: $6=2.3,9=3^2$

Do đó ước chung lớn nhất của $6,9$ là 3

Chọn C.

Câu 12 (TH):

Phương pháp:

Tính chất của tam giác cân: Hai cạnh bên bằng nhau.

Cách giải:

Vì tam giác ABC cân tại $A\Rightarrow AB=AC$

Chọn C.

Câu 13 (TH):

Phương pháp:

Đường thẳng $y=ax+b\left(a\ne 0\right)$ có hệ số góc là $a$

Cách giải:

Hệ số góc $a$ của đường thẳng $y=2x+3$ là $a=2$

Chọn B.

Câu 14 (NB):

Phương pháp:

Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn là góc vuông

Cách giải:

Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn là góc vuông

Chọn A.

Câu 15 (NB):

Phương pháp:

Tính giá trị biểu thức.

Cách giải:

Ta có: $\sqrt{9}+5=3+5=8$

Chọn B.

Câu 16 (NB):

Phương pháp:

Điều kiện xác định của hàm số $\sqrt{f\left(x\right)}$ là $f\left(x\right)\ge 0$

Cách giải:

Điều kiện xác định của $\sqrt{x-10}$ là $x-10\ge 0\iff x\ge 10$

Chọn C.

Câu 17 (TH):

Phương pháp:

Dây có độ dài lớn nhất của đường tròn là đường kính

Cách giải:

Dây có độ dài lớn nhất của đường tròn là đường kính

Đường kính của đường tròn $\left(O;12cm\right)$ là 24cm

Chọn C.

Câu 18 (NB):

Phương pháp:

Sử dụng: $a^m.a^n=a^{m+n}$

Cách giải:

Ta có: $a^3.a^5=a^{3+5}=a^8$

Chọn C.

Câu 19 (NB):

Phương pháp:

Đặt nhân tử chung.

Cách giải:

Ta có: $x^2-5x=x\left(x-5\right)$

Chọn D.

Câu 20 (NB):

Phương pháp:

Số đo cung nhỏ AB bằng góc ở tâm$\mathrm{\angle }AOB$

Cách giải:

Xét (O) có: $\mathrm{\angle }AOB={60}^{\circ }$

Suy ra số đo cung nhỏ AB là ${60}^{\circ }$

Chọn D.

Câu 21 (NB):

Phương pháp:

Giải hệ phương trình bẳng phương pháp cộng đại số.

Cách giải:

Ta có: $\{\begin{array}{l}3x-y=5\\ 5x+4y=14\end{array}\iff \{\begin{array}{l}12x-4y=20\\ 5x+4y=14\end{array}\iff \{\begin{array}{l}17x=34\\ 5x+4y=14\end{array}\iff \{\begin{array}{l}x=2\\ 10+4y=14\end{array}\iff \{\begin{array}{l}x=2\\ y=1\end{array}$

Vậy hệ phương trình có nghiệm $\left(x;y\right)$ là $\left(2;1\right)$

Chọn B.

Câu 22 (NB):

Phương pháp:

Thay giá trị $x=2,x=-2$ vào các hàm số $f\left(x\right)$

Cách giải:

Xét $f\left(x\right)=\frac{x^2}{2}$

Ta có $f(2)=\frac{2^2}{2}=2;f(-2)=\frac{{\left(-2\right)}^2}{2}=2$

Suy ra $f\left(2\right)=f\left(-2\right)$

Chọn D.

Câu 23 (TH):

Phương pháp:

Thay tọa độ điểm $\left(1;-1\right)$ vào phương trình đường thẳng rồi tìm $m$

Cách giải:

Vì đồ thị hàm số $y=\left(m-2\right)x^2$ đi qua điểm $P\left(1;-1\right)$ nên $m-2=-1\Rightarrow m=1$

Chọn B.

Câu 24 (NB):

Phương pháp:

Sử dụng hệ thức Vi – ét: $\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2=\frac{-b}{a}\\ x_1{x}_2=\frac{c}{a}\end{array}$

Cách giải:

Ta có: $\mathrm{\Delta }=9-4.2=1>0$. Do đó phương trình có 2 nghiệm phân biệt

Áp dụng định lý Viete ta có $x_1.x_2=\frac{c}{a}=2$

Chọn D.

Câu 25 (TH):

Phương pháp:

Gọi $I$ là trung điểm của AB.

Sử dụng định lí: Trong một đường tròn, đường kính đi qua trung điểm của một dây không đi qua tâm thì

vuông góc với dây ấy.

Khi đó OI là khoảng cách từ O đến AB.

Sử dụng định lý Py-ta-go trong tam giác vuông để tính OI

Cách giải:

Gọi $I$ là trung điểm của $AB\Rightarrow IA=IB=\frac{AB}{2}=\frac{24}{2}=12\left(cm\right)$

Vì tam giác OAB cân tại $O\Rightarrow OI\mathrm{\perp }AB$

Áp dụng định lý Py-ta-go trong tam giác OIB:

$OI=\sqrt{O{B}^2-I{B}^2}=\sqrt{{15}^2-{12}^2}=9\left(cm\right)$

Vậy khoảng cách từ $O$ đến dây AB là 9cm

Chọn B.

Câu 26 (TH):

Phương pháp:

Thể tích hình nón có chiều cao $h$ và bán kính đáy $r$ là $V=\frac{1}{3}\pi r^{2}h$

Cách giải:

Thể tích hình nón có chiều cao $h=2cm$ và bán kính đáy $r=3cm$ là: $V=\frac{1}{3}\pi r^{2}h=\frac{1}{3}\pi {.3}^2.2=6\pi \left(c{m}^3\right)$

Chọn C.

Câu 27 (TH):

Phương pháp:

Diện tích đường tròn có bán kính đáy $R$ là $S=\pi R^2$, từ đó tìm bán kính rồi tính chu vi của đường tròn

Cách giải:

Gọi $R$ là bán kính của đường tròn

Khi đó $\pi R^2=64\pi \Rightarrow R=8\left(cm\right)$

Chu vi đường tròn là $C=2\pi R=2\pi .8=16\pi \left(cm\right)$

Chọn D.

Câu 28 (TH):

Phương pháp:

Sử dụng: $\sin x=\cos \left({90}^{\circ }-x\right)$

Cách giải:

Ta có: $\sin {25}^{\circ }=\cos \left({90}^{\circ }-{25}^{\circ }\right)=\cos {65}^{\circ }$

Chọn C.

Câu 29 (TH):

Phương pháp:

Với $a<0,\sqrt{a^2}=\left|a\right|=-a$

Cách giải:

Với $a<0,\sqrt{a^2}=\left|a\right|=-a$

Khi đó $P=\frac{\sqrt{a^2}}{2}+\frac{3a}{2}=\frac{-a}{2}+\frac{3a}{2}=\frac{2a}{2}=a$

Chọn D.

Câu 30 (TH):

Phương pháp:

Tìm các nghiệm của phương trình rồi tính tích.

Cách giải:

Ta có: $\left(x-1\right)\left(x^2-4\right)=0\iff [\begin{array}{l}x-1=0\\ x^2-4=0\end{array}\iff [\begin{array}{l}x=1\\ x^2=4\end{array}\iff [\begin{array}{l}x=1\\ x=2\\ x=-2\end{array}$

Tích các nghiệm là $1.2.\left(-2\right)=-4$

Chọn A.

Câu 31 (TH):

Phương pháp:

Biểu diễn $x$ theo $y$ rồi thay vào phương trình $2x-y=8$

Cách giải:

Vì $\frac{x}{y}=\frac{3}{2}\Rightarrow x=\frac{3}{2}y$

Khi đó $3y-y=8\Rightarrow 2y=8\Rightarrow y=4$

Chọn D.

Câu 32 (TH):

Phương pháp:

Rút gọn biểu thức, đưa một số ra ngoài dấu căn: $\sqrt{a^{2}b}=a\sqrt{b}$

Cách giải:

Ta có: $A=2\sqrt{3}a-\sqrt{48}a=2\sqrt{3}a-4\sqrt{3}a=-2\sqrt{3}a$

Chọn A.

Câu 33 (TH):

Phương pháp:

Sử dụng tính chất của tam giác cân và tính chất của góc ngoài

Cách giải:

Vì $\mathrm{\Delta }MOA$ cân tại $O$ nên $\mathrm{\angle }OMA=\mathrm{\angle }MAO$

Ta có: $\mathrm{\angle }MOB=\mathrm{\angle }OMA+\mathrm{\angle }MAO=2\mathrm{\angle }OMA={2.30}^{\circ }={60}^{\circ }$

Chọn D.

Câu 34 (TH):

Phương pháp:

Tìm các phần tử thuộc tập hợp $M$

Cách giải:

Ta có: $n\in \mathbb{N}\ast ,n⋮3,n\le 30\Rightarrow n\in \left\{3;6;\dots ;30\right\}$

Khi đó $M$ có 10 phần tử

Chọn D.

Câu 35 (TH):

Phương pháp:

Lập đường thẳng đi qua hai điểm, từ đó có hệ phương trình, giải hệ bằng phương pháp cộng đại số.

Cách giải:

Vì đồ thị hàm số đi qua hai điểm $A\left(-2;1\right),B\left(1;7\right)$ nên $\{\begin{array}{l}-2a+b=1\\ a+b=7\end{array}\iff \{\begin{array}{l}3a=6\\ a+b=7\end{array}\iff \{\begin{array}{l}a=2\\ 2+b=7\end{array}\iff \{\begin{array}{l}a=2\\ b=5\end{array}$

Hàm số cần tìm là $y=2x+5$

Chọn A.

Câu 36 (VD):

Phương pháp:

- Xét phương trình hoành độ giao điểm

- Tìm điều kiện để phương trình đó có 2 nghiệm phân biệt

- Áp dụng định lý Vi-ét để giải điều kiện

Cách giải:

Xét phương trình hoành độ giao điểm $\left(P\right),d$: $x^2=\left(m+1\right)x+2\iff x^2-\left(m+1\right)x-2=0$

$\mathrm{\Delta }={\left(m+1\right)}^2-4.\left(-2\right)={\left(m+1\right)}^2+8>0,\mathrm{\forall }m\in \mathbb{R}$

Do đó phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt $x_1,x_2$ với mọi $m$

Áp dụng định lý Viete ta có $\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2=m+1\\ x_1{x}_2=-2\end{array}$

Ta có: $\{\begin{array}{l}{y}_1={x_1}^2\Rightarrow {y_1}^2=x_1^4\\ y_2={x_2}^2\Rightarrow {y_2}^2=x_2^4\end{array}$

Khi đó $x_1^4-x_2^4=8\left(x_1^2-x_2^2\right)$

$\begin{array}{l}\iff \left(x_1^2-x_2^2\right)\left(x_1^2+x_2^2\right)=8\left(x_1^2-x_2^2\right)\\ \iff \left(x_1^2-x_2^2\right)\left(x_1^2+x_2^2-8\right)=0\\ \iff x_1^2+x_2^2-8=0\left(do{x}_1\ne x_2\Rightarrow x_1^2\ne x_2^2\right)\\ \iff x_1^2+x_2^2=8\\ \iff {\left(x_1+x_2\right)}^2-2x_1{x}_2=8\\ \Rightarrow {\left(m+1\right)}^2+4=8\\ \iff {\left(m+1\right)}^2=4\\ \iff [\begin{array}{c}m+1=2\\ m+1=-2\end{array}\\ \iff [\begin{array}{c}m=1\\ m=-3\end{array}\end{array}$

Tổng các giá trị của tham số $m$ thỏa mãn là $1-3=-2$

Chọn D.

Câu 37 (TH):

Phương pháp:

Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình:

- Gọi chiều dài, chiều rộng hình chữ nhật lần lượt là $a,b\left(a>0,b>0\right)$

- Lập hệ phương trình, tìm $a,b$

Cách giải:

Gọi chiều dài, chiều rộng hình chữ nhật lần lượt là $a,b\left(a>0,b>0\right)$

Chu vi sân trường hình chữ nhật là $300m\Rightarrow a+b=150$ (1)

Hai lần chiều dài hơn ba lần chiều rộng là 50m nên $2a-3b=50$ (2)

Từ (1) và (2) ta có $\{\begin{array}{l}a+b=150\\ 2a-3b=50\end{array}\iff \{\begin{array}{l}2a+2b=300\\ 2a-3b=50\end{array}\iff \{\begin{array}{l}5b=250\\ 2a-3b=50\end{array}\iff \{\begin{array}{l}b=50\\ 2a-150=50\end{array}\iff \{\begin{array}{l}b=50\\ a=100\end{array}$

Diện tích sân trường là $S=100.50=5000\left(m^2\right)$

Chọn B.

Câu 38 (TH):

Phương pháp:

- Sử dụng tính chất của đường thẳng song song

- Sử dụng định lý tan trong tam giác

Cách giải:

Xét cấu trúc như hình trên: $AB=12,BM=8,\mathrm{\angle }MED={40}^{\circ }$

Ta có: $DE\parallel MN\Rightarrow \mathrm{\angle }HMN=\mathrm{\angle }MED={40}^{\circ }$

Xét tam giác HMN vuông tại $N$ có:

 $HN=MN.\tan \mathrm{\angle }HMN=12.\tan {40}^{\circ }\approx 10,07$

Vậy chiều cao của cây là $10,07+8=18,07\left(m\right)$

Chọn B.

Câu 39 (TH):

Phương pháp:

- Chứng minh $\Delta MAC\backsim \Delta MDA$

- Tính MA

Cách giải:

Ta có: $M$ là điểm chính giữa của cung nhỏ AB nên

Lại có:

Suy ra $\mathrm{\angle }MAC=\mathrm{\angle }MDA$

Xét $\mathrm{\Delta }MAC$ và $\mathrm{\Delta }MDA$ có: $\mathrm{\angle }MAC=\mathrm{\angle }MDA$; $\mathrm{\angle }AMDchung$

$\Rightarrow \Delta MAC\backsim \Delta MDA(\text{g-g})$$\Rightarrow \frac{MA}{MD}=\frac{MC}{MA}$ (các cạnh tương ứng tỉ lệ)

$\Rightarrow M{A}^2=MC.MD=9.16$

$\Rightarrow MA=12(cm)$

Chọn C.

Câu 40 (VD):

Phương pháp:

- Tìm ĐKXĐ

- Đưa về phương trình tích

Cách giải:

ĐKXĐ: $x^2-1\ge 0\iff x^2\ge 1\iff [\begin{array}{l}x\ge 1\\ x\le -1\end{array}$

Ta có:

$\begin{array}{l}\sqrt{x^2-1}-x^2+1=0\\ \iff \sqrt{x^2-1}-\left(x^2-1\right)=0\\ \iff \sqrt{x^2-1}\left(1-\sqrt{x^2-1}\right)=0\\ \iff [\begin{array}{c}\sqrt{x^2-1}=0\\ \sqrt{x^2-1}=1\end{array}\\ \iff [\begin{array}{c}{x}^2-1=0\\ x^2-1=1\end{array}\\ \iff [\begin{array}{c}{x}^2=1\\ x^2=2\end{array}\\ \iff [\begin{array}{c}x=1\\ x=-1\\ x=\sqrt{2}\\ x=-\sqrt{2}\end{array}\end{array}$

Vậy tích các nghiệm là $1.(-1).\sqrt{2}.\left(-\sqrt{2}\right)=2$

Chọn B.

Câu 41 (VD):

Phương pháp:

Gọi H là giao điểm của AB và MO

Sử dụng tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau.

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông, định lí Py-ta-go để tính độ dài các đoạn thẳng.

Cách giải:

Gọi $H$ là giao điểm của AB và MO

Xét (O) có 2 tiếp tuyến MA, MB cắt nhauu tại M nên $MA=MB,OA=OB$

Suy ra OM là đường trung trực của AB

Xét tam giác MAO vuông tại $A$ có $AH\mathrm{\perp }MO:$

$\Rightarrow O{A}^2=OH.OM\Rightarrow OH=\frac{O{A}^2}{OM}=\frac{2^2}{4}=1$

Áp dụng định lý Py-ta-go vào tam giác OAH vuông tại $H$:

$AH=\sqrt{O{A}^2-O{H}^2}=\sqrt{2^2-1^1}=\sqrt{3}$

Do đó $AB=2AH=2\sqrt{3}\left(cm\right)$

Chọn B.

Câu 42 (VD):

Phương pháp:

Giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số

Cách giải:

ĐKXĐ: $x\ne y\ne 0$

Ta có:

$\begin{array}{l}\{\begin{array}{c}\frac{2}{x+y}+\frac{1}{x-y}=3\\ \frac{1}{x+y}-\frac{3}{x-y}=1\end{array}\iff \{\begin{array}{c}\frac{2}{x+y}+\frac{1}{x-y}=3\\ \frac{2}{x+y}-\frac{6}{x-y}=2\end{array}\iff \{\begin{array}{c}\frac{2}{x+y}+\frac{1}{x-y}=3\\ \frac{7}{x-y}=1\end{array}\iff \{\begin{array}{c}\frac{2}{x+y}+\frac{1}{7}=3\\ x-y=7\end{array}\iff \{\begin{array}{c}\frac{2}{x+y}=\frac{20}{7}\\ x-y=7\end{array}\\ \iff \{\begin{array}{c}x+y=\frac{7}{10}\\ x-y=7\end{array}\iff \{\begin{array}{c}x=\frac{77}{20}\\ y=\frac{-63}{20}\end{array}\end{array}$

Khi đó $\frac{2}{7}{x}_0+\frac{2}{3}{y}_0=\frac{2}{7}.\frac{77}{20}-\frac{2}{3}.\frac{63}{20}=-1$

Chọn B.

Câu 43 (VD):

Phương pháp:

Tính góc A trong tam giác ABC.

Sử dụng tỉ số lượng giác trong tam giác ABH vuông H.

Cách giải:

Ta có: $\mathrm{\angle }BAC={180}^{\circ }-2\mathrm{\angle }B={180}^{\circ }-{2.65}^{\circ }={50}^{\circ }$ (do tam giác ABC cân tại $A$)

Tam giác ABH vuông tại $H$ nên $AB=\frac{BH}{\sin {50}^{\circ }}=\frac{4}{\sin {50}^{\circ }}=5,22$

Diện tích tam giác ABC là $S_{ABC}=\frac{1}{2}BH.AB=\frac{1}{2}.4.5,22=10,44$ (đvdt)

Chọn A.

Câu 44 (VD):

Phương pháp:

- Gọi giao điểm của d với hai trục tọa độ Ox, Oy lần lượt là A, B

- Gọi OH vuông góc với AB tại H

- Tính $OA,OB$ rồi dùng hệ thức lượng tính OH

Cách giải:

Gọi $A,B$ lần lượt là giao điểm của $d$ với trục $Ox,Oy$

Khi đó $A\left(1-m;0\right),B\left(0;m-1\right)$

Suy ra $OA=\left|1-m\right|,OB=\left|m-1\right|$

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác OAB vuông tại $O$ có OH vuông góc với AB

$\Rightarrow \frac{1}{O{H}^2}=\frac{1}{O{A}^2}+\frac{1}{O{B}^2}$

$\begin{array}{l}\Rightarrow \frac{1}{O{H}^2}=\frac{1}{{\left(m-1\right)}^2}+\frac{1}{{\left(m-1\right)}^2}=\frac{2}{{\left(m-1\right)}^2}\\ \Rightarrow OH=\frac{\left|m-1\right|}{\sqrt{2}}\end{array}$

Từ giả thiết suy ra $\frac{\left|m-1\right|}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}\Rightarrow \left|m-1\right|=2\Rightarrow [\begin{array}{l}m-1=2\\ m-1=-2\end{array}\iff [\begin{array}{l}m=3\\ m=-1\end{array}$

Mà $m>0\Rightarrow m=3$

Chọn C.

Câu 45 (VD):

Phương pháp:

Biện luận nghiệm của phương trình bậc hai

Cách giải:

$\left(m^2{x}^2+4x+1\right)\left(x-2023\right)=0\iff [\begin{array}{l}{m}^2{x}^2+4x+1=0\left(1\right)\\ x=2023\end{array}$

Để phương trình đã cho có 3 nghiệm phân biệt thì (1) phải có 2 nghiệm phân biệt khác 2023

$\Rightarrow \{\begin{array}{l}{\mathrm{\Delta }}^{\prime }=4-m^2>0\\ 2023m^2+4.2023+1\ne 0\\ m\ne 0\end{array}\iff \{\begin{array}{l}{m}^2<4\\ m\ne 0\end{array}\iff \{\begin{array}{l}-2<m<2\\ m\ne 0\end{array}$

Mà $m\in \mathbb{Z}\Rightarrow m\in \left\{-1;1\right\}$

Chọn D.

Câu 46 (VD):

Phương pháp:

Xác định giao điểm của hai đường thẳng.

Từ đó tính diện tích tam giác ABC.

Cách giải:

Ta có: $A\left(-2;0\right),B\left(0;2\right)$

Tọa độ $C$ là nghiệm của hệ:$\{\begin{array}{l}y=\sqrt{3}x+2\sqrt{3}\\ y=-\sqrt{3}x+2\sqrt{3}\end{array}\iff \{\begin{array}{l}x=0\\ y=2\sqrt{3}\end{array}$

Ta có: $OC=2\sqrt{3}$

$AB=OA+OB=2+2=4$

Diện tích tam giác ABC là $\frac{1}{2}OC.AB=\frac{1}{2}.2\sqrt{3}.4=4\sqrt{3}$ (đvdt)

Chọn B.

Câu 47 (VDC):

Phương pháp:

Gọi F là giao điểm của AD và BC

Qua A kẻ đường thẳng song song với BC, cắt BP tại K, cắt CQ tại H

Áp dụng định lí Ta-ét suy ra ra các cặp cạnh tương ứng tỉ lệ.

Sử dụng các kiến thức tính chất dãy tỉ số bằng nhau.

Cách giải:

Gọi F là giao điểm của AD và BC

Qua A kẻ đường thẳng song song với BC, cắt BP tại K, cắt CQ tại H

Suy ra HK // MN // BC

Áp dụng định lí Ta-lét ta có:

Vì $AK\parallel BF\Rightarrow \frac{AK}{BF}=\frac{AD}{DF}$

Vì $AH\parallel FC\Rightarrow \frac{AH}{FC}=\frac{AD}{DF}$

$\Rightarrow \frac{AK}{BF}=\frac{AD}{DF}=\frac{AH}{FC}=\frac{AH+AK}{BF+FC}=\frac{HK}{BC}$ (tính chất dãy tỉ số bằng nhau)

Lại có:  $\frac{AQ}{BQ}=\frac{AH}{BC}(AH\parallel BC)$

           $\frac{AP}{CP}=\frac{AK}{BC}(AK\parallel BC)$

$\Rightarrow \frac{AQ}{BQ}+\frac{AP}{CP}=\frac{AH}{BC}+\frac{AK}{BC}=\frac{HK}{BC}=\frac{AD}{DF}$

Mà $\frac{AM}{MC}=\frac{2}{3}\Rightarrow \frac{AD}{DF}=\frac{2}{3}$

$\begin{array}{l}\Rightarrow \frac{AQ}{BQ}+\frac{AP}{CP}=\frac{2}{3}\\ \Rightarrow \frac{AQ}{BQ}+1+\frac{AP}{CP}+1=\frac{2}{3}+2\\ \Rightarrow \frac{AB}{BQ}+\frac{AC}{CP}=\frac{8}{3}\\ \Rightarrow \frac{4}{BQ}+\frac{4}{CP}=\frac{8}{3}\\ \Rightarrow \frac{1}{BQ}+\frac{1}{CP}=\frac{2}{3}\end{array}$

Chọn C.

Câu 48 (VD):

Phương pháp:

Gọi $A,B$ là giao điểm của đường thẳng $d$ với hai trục tọa độ Ox, Oy.

Biểu diễn diện tích tam giác OAB và tìm GTLN của biểu thức.

Cách giải:

Ta có: $A\left(0;-1\right),B\left(\frac{1}{m^2+2m+3};0\right)$. Suy ra $OA=1,OB=\frac{1}{m^2+2m+3}$

$S_{OAB}=\frac{1}{2}OA.OB=\frac{1}{2}.1.\frac{1}{m^2+2m+3}=\frac{1}{2\left(m^2+2m+3\right)}$

Ta có: $m^2+2m+3={\left(m+1\right)}^2+2\ge 2\Rightarrow \frac{1}{2\left(m^2+2m+3\right)}\le \frac{1}{4}$

Hay $S_{OAB}\le \frac{1}{4}$

Dấu  xảy ra khi và chỉ khi $m=-1$

Chọn C.

Câu 49 (VD):

Phương pháp:

- Tìm điều kiện để phương trình có 2 nghiệm phân biệt

- Sử dụng định lý Vi-ét

Cách giải:

Ta có: ${\mathrm{\Delta }}^{\prime }=1-\left(-m+5\right)=m-4$

Để phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt thì $m-4>0\iff m>4$

Áp dụng định lý Viete ta có: $\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2=-2\\ x_1{x}_2=-m+5\end{array}$

Để phương trình có 2 nghiệm âm phân biệt thì $-m+5>0\iff m<5$

Kết hợp hai điều kiện trên ta được $4<m<5$

Chọn C.

Câu 50 (VDC):

Phương pháp:

Rút gọn vế trái rồi giải phương trình

Cách giải:

Ta có: $\frac{9}{x-\sqrt{x}-2}+\frac{2\sqrt{x}+5}{\sqrt{x}+1}-\frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}-2}=2\sqrt{x}+1$

$\iff \frac{9}{\left(\sqrt{x}+1\right)\left(\sqrt{x}-2\right)}+\frac{\left(2\sqrt{x}+5\right)\left(\sqrt{x}-2\right)}{\left(\sqrt{x}+1\right)\left(\sqrt{x}-2\right)}-\frac{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}{\left(\sqrt{x}+1\right)\left(\sqrt{x}-2\right)}=2\sqrt{x}+1$

$\iff \frac{9+2x+\sqrt{x}-10-x+1}{\left(\sqrt{x}+1\right)\left(\sqrt{x}-2\right)}=2\sqrt{x}+1$

$\iff \frac{x+\sqrt{x}}{\left(\sqrt{x}+1\right)\left(\sqrt{x}-2\right)}=2\sqrt{x}+1$

$\iff \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-2}=2\sqrt{x}+1$

$\iff \left(2\sqrt{x}+1\right)\left(\sqrt{x}-2\right)=\sqrt{x}$

$\begin{array}{l}\iff 2x-4\sqrt{x}-2=0\\ \iff x-2\sqrt{x}-1=0\\ \iff x-2\sqrt{x}+1=2\\ \iff (\sqrt{x}-1{)}^2=2\\ \iff [\begin{array}{c}\sqrt{x}-1=\sqrt{2}\\ \sqrt{x}-1=-\sqrt{2}(L)\end{array}\\ \iff \sqrt{x}=\sqrt{2}+1\\ \iff x=3+2\sqrt{2}\end{array}$

Vậy $2a-b=2.3-2=4$

Chọn C.