Giải bài 3.30 trang 40 sách bài tập toán 9 - Kết nối tri thức tập 1

2024-09-14 18:49:53

Đề bài

a) Chứng minh rằng $\sqrt{3 + \sqrt{5}} . \sqrt{3 - \sqrt{5}} = 2$ và $\sqrt{3 + \sqrt{5}} + \sqrt{3 - \sqrt{5}} = \sqrt{10}$ .

b) Rút gọn các biểu thức sau:

$A = {(\sqrt{3 + \sqrt{5}})}^{3} + {(\sqrt{3 - \sqrt{5}})}^{3}$ ;

$B = {(\sqrt{3 + \sqrt{5}})}^{5} + {(\sqrt{3 - \sqrt{5}})}^{5}$ .

Phương pháp giải - Xem chi tiết

+ Với A, B là các biểu thức không âm, ta có $\sqrt{A} . \sqrt{B} = \sqrt{A B}$ .

+ $\sqrt{A^{2}} = | A |$ với mọi biểu thức A.

Lời giải chi tiết

a) Ta có:

+) $\sqrt{3 + \sqrt{5}} . \sqrt{3 - \sqrt{5}}$

$= \sqrt{(3 + \sqrt{5}) (3 - \sqrt{5})} = \sqrt{3^{2} - {(\sqrt{5})}^{2}} = \sqrt{4} = 2$

+) ${(\sqrt{3 + \sqrt{5}} + \sqrt{3 - \sqrt{5}})}^{2}$

$= 3 + \sqrt{5} + 2 \sqrt{3 + \sqrt{5}} \sqrt{3 - \sqrt{5}} + 3 - \sqrt{5} = 6 + 2.2 = 10$

Do đó, $\sqrt{3 + \sqrt{5}} + \sqrt{3 - \sqrt{5}} = \sqrt{10}$ .

b) Đặt $a = \sqrt{3 + \sqrt{5}}, b = \sqrt{3 - \sqrt{5}}$ .

Theo a ta có: $a b = 2, a + b = \sqrt{10}$

Ta có:

$a^{3} + b^{3} = {(a + b)}^{3} - 3 a b (a + b) = {(\sqrt{10})}^{3} - 3.2 \sqrt{10} = 10 \sqrt{10} - 6 \sqrt{10} = 4 \sqrt{10}$

Vậy $A = 4 \sqrt{10}$

$B = a^{5} + b^{5} = (a^{2} + b^{2}) (a^{3} + b^{3}) - a^{2} b^{3} - a^{3} b^{2} = [{(a + b)}^{2} - 2 a b] A - {(a b)}^{2} (a + b) = [{(\sqrt{10})}^{2} - 2.2] .4 \sqrt{10} - 2^{2} . \sqrt{10} = 20 \sqrt{10}$

Bạn muốn hỏi điều gì?

Đặt Câu Hỏi

Chúng tôi sử dụng AI và sức mạnh của cộng đồng để giải quyết câu hỏi của bạn

Mẹo tìm đáp án nhanh

Search Google: "từ khóa + hoctot.me" Ví dụ: "Bài 1 trang 15 SGK Vật lí 11 hoctot.me"