Giải bài 14 trang 100 sách bài tập toán 9 - Chân trời sáng tạo tập 1

Đề bài

Cho đường tròn (O; R) và một điểm M bên trong đường tròn đó. Qua M kẻ hai dây cung AB và CD vuông góc với nhau (D thuộc cung nhỏ AB). Vẽ đường kính DE. Chứng minh:

a) MA.MB = MC.MD.

b) Tứ giác ABEC là hình thang cân.

c) Tổng MA² + MB² + MC² + MD² có giá trị không đổi khi M thay đổi vị trí trong đường tròn (O).

Lời giải chi tiết

a) Xét \(\Delta \)MAC và \(\Delta \)MDB, ta có \(\widehat{AMC}=\widehat{DMB}={{90}^{o}},\widehat{ACM}=\widehat{DMB}\left( \frac{1}{2}sđ\overset\frown{AD} \right).\)

Do đó \(\Delta \)MAC \(\backsim \) \(\Delta \)MDB, suy ra \(\frac{{MA}}{{MD}} = \frac{{MC}}{{MB}}\) hay MA.MB = MC.MD.

b) Vì DE là đường kính nên ta có \(CE \bot CD\).

Mà \(AB \bot CD\) nên AB // CE, suy ra ABEC là hình thang.

Ta có \(\widehat {EBA} + \widehat {MBD} = {90^o};\widehat {CAB} + \widehat {ACM} = {90^o};\widehat {ACM} = \widehat {DMB}\), suy ra \(\widehat {EBA} = \widehat {CAB}\). Vậy ABEC là hình thang cân.

c) Ta có AC = BE (vì ABEC là hình thang cân) và \(\Delta DBE\)vuông tại B, nên ta có

MA² + MB² + MC² + MD² = AC² + BD² = BE² + BD² = ED² = 4R².

Vậy tổng MA² + MB² + MC² + MD² có giá trị không đổi.