Giải bài 14 trang 100 sách bài tập toán 9 - Chân trời sáng tạo tập 1

Đề bài

Cho đường tròn (O; R) và một điểm M bên trong đường tròn đó. Qua M kẻ hai dây cung AB và CD vuông góc với nhau (D thuộc cung nhỏ AB). Vẽ đường kính DE. Chứng minh:

a) MA.MB = MC.MD.

b) Tứ giác ABEC là hình thang cân.

c) Tổng MA² + MB² + MC² + MD² có giá trị không đổi khi M thay đổi vị trí trong đường tròn (O).

Lời giải chi tiết

a) Xét $\mathrm{\Delta }$MAC và $\mathrm{\Delta }$MDB, ta có $\widehat{AMC}=\widehat{DMB}={90}^o,\widehat{ACM}=\widehat{DMB}\left(\frac{1}{2}sđ\stackrel{⌢}{AD}\right).$

Do đó $\mathrm{\Delta }$MAC $\backsim$ $\mathrm{\Delta }$MDB, suy ra $\frac{MA}{MD}=\frac{MC}{MB}$ hay MA.MB = MC.MD.

b) Vì DE là đường kính nên ta có $CE\mathrm{\perp }CD$.

Mà $AB\mathrm{\perp }CD$ nên AB // CE, suy ra ABEC là hình thang.

Ta có $\widehat{EBA}+\widehat{MBD}={90}^o;\widehat{CAB}+\widehat{ACM}={90}^o;\widehat{ACM}=\widehat{DMB}$, suy ra $\widehat{EBA}=\widehat{CAB}$. Vậy ABEC là hình thang cân.

c) Ta có AC = BE (vì ABEC là hình thang cân) và $\mathrm{\Delta }DBE$vuông tại B, nên ta có

MA² + MB² + MC² + MD² = AC² + BD² = BE² + BD² = ED² = 4R².

Vậy tổng MA² + MB² + MC² + MD² có giá trị không đổi.