Giải bài 5 trang 35 sách bài tập toán 9 - Cánh diều tập 1

2024-09-14 18:54:33

Đề bài

Cho $x, y, z$ là các số thực tùy ý. Chứng minh:

$\begin{array}{l} a) x^{2} + y^{2} \geq 2 x y \\ b) x^{2} + y^{2} + z^{2} \geq x y + y z + z x \\ c) 3 (x^{2} + y^{2} + z^{2}) \geq {(x + y + z)}^{2} \end{array}$

Phương pháp giải - Xem chi tiết

a) Áp dụng tính chất của hằng đẳng thức: ${(x - y)}^{2} \geq 0$

b) Cộng vế với vế của 3 bất đẳng thức ${(x - y)}^{2} \geq 0; {(y - z)}^{2} \geq 0; {(z - x)}^{2} \geq 0$ .

c) Xét hiệu $3 (x^{2} + y^{2} + z^{2}) - {(x + y + z)}^{2}$ .

Lời giải chi tiết

a) Do ${(x - y)}^{2} \geq 0 \forall x, y \in R$ nên $x^{2} - 2 x y + y^{2} \geq 0$ hay $x^{2} + y^{2} \geq 2 x y$ .

b) Với $x, y, z$ là các số thực tùy ý ta có:

${(x - y)}^{2} \geq 0; {(y - z)}^{2} \geq 0; {(z - x)}^{2} \geq 0$ .

Cộng vế với vế của 3 bất đẳng thức trên, ta được:

${(x - y)}^{2} + {(y - z)}^{2} + {(z - x)}^{2} \geq 0$

$x^{2} - 2 x y + y^{2} + y^{2} - 2 y z + z^{2} + z^{2} - 2 x z + x^{2} \geq 0$

$2 (x^{2} + y^{2} + z^{2}) \geq 2 (x y + y z + x z)$

Vậy $x^{2} + y^{2} + z^{2} \geq x y + y z + z x$

c) Xét hiệu

$\begin{array}{l} 3 (x^{2} + y^{2} + z^{2}) - {(x + y + z)}^{2} = 3 x^{2} + 3 y^{2} + 3 z^{2} - x^{2} - y^{2} - z^{2} - 2 x y - 2 y z - 2 z x \\ = (x^{2} - 2 x y + y^{2}) + (y^{2} - 2 y z + z^{2}) + (x^{2} - 2 z x + z^{2}) = {(x - y)}^{2} + {(y - z)}^{2} + {(z - x)}^{2} \end{array}$

Do ${(x - y)}^{2} + {(y - z)}^{2} + {(z - x)}^{2} \geq 0$ nên $3 (x^{2} + y^{2} + z^{2}) - {(x + y + z)}^{2}$

hay $3 (x^{2} + y^{2} + z^{2}) \geq {(x + y + z)}^{2}$ .

Bạn muốn hỏi điều gì?

Đặt Câu Hỏi

Chúng tôi sử dụng AI và sức mạnh của cộng đồng để giải quyết câu hỏi của bạn

Mẹo tìm đáp án nhanh

Search Google: "từ khóa + hoctot.me" Ví dụ: "Bài 1 trang 15 SGK Vật lí 11 hoctot.me"