Giải bài tập 2.18 trang 65 SGK Toán 12 tập 1 - Kết nối tri thức

Đề bài

Trong không gian Oxyz, cho hình hộp OABC.O’A’B’C’ có $A\left(1;1;-1\right),B\left(0;3;0\right),C^{\prime }\left(2;-3;6\right)$.
a) Xác định tọa độ của điểm C.
b) Xác định các tọa độ đỉnh còn lại của hình hộp.

Lời giải chi tiết

a) Ta có: O(0; 0; 0)

Vì OABC.O’A’B’C’ là hình hộp nên AOBC là hình bình hành. Do đó:$\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{CB}\Rightarrow \{\begin{array}{l}{x}_A=x_B-x_C\\ y_A=y_B-y_C\\ z_A=z_B-z_C\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{l}{x}_C=x_B-x_A=1\\ y_C=y_B-y_A=-2\\ z_C=z_B-z_A=-1\end{array}\Rightarrow C\left(-1;2;1\right)$

b) Vì OABC.O’A’B’C’ là hình hộp nên

$\overrightarrow{O{O}^{\prime }}=\overrightarrow{C{C}^{\prime }}\Rightarrow \{\begin{array}{l}{x}_{O^{\prime }}=x_{C^{\prime }}-x_C=3\\ y_{O^{\prime }}=y_{C^{\prime }}-y_C=-5\\ z_{O^{\prime }}=z_{C^{\prime }}-z_C=5\end{array}\Rightarrow O^{\prime }\left(3;-5;5\right)$

$\overrightarrow{A{A}^{\prime }}=\overrightarrow{C{C}^{\prime }}\Rightarrow \{\begin{array}{l}{x}_{A^{\prime }}-x_A=x_{C^{\prime }}-x_C=3\\ y_{A^{\prime }}-y_A=y_{C^{\prime }}-y_C=-5\\ z_{A^{\prime }}-z_A=z_{C^{\prime }}-z_C=5\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{l}{x}_{A^{\prime }}=4\\ y_{A^{\prime }}=-4\\ z_{A^{\prime }}=4\end{array}\Rightarrow A^{\prime }\left(4;-4;4\right)$

$\overrightarrow{B{B}^{\prime }}=\overrightarrow{C{C}^{\prime }}\Rightarrow \{\begin{array}{l}{x}_{B^{\prime }}-x_B=\left(x_{C^{\prime }}-x_C\right)=3\\ y_{B^{\prime }}-y_B=\left(y_{C^{\prime }}-y_C\right)=-5\\ z_{B^{\prime }}-z_B=\left(z_{C^{\prime }}-z_C\right)=5\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{l}{x}_{B^{\prime }}=3\\ y_{B^{\prime }}=-2\\ z_{B^{\prime }}=5\end{array}\Rightarrow B^{\prime }\left(3;-2;5\right)$