Giải mục 2 trang 69, 70 SGK Toán 12 tập 1 - Kết nối tri thức

HĐ3

Trả lời câu hỏi Hoạt động 3 trang 69 SGK Toán 12 Kết nối tri thức

Trong không gian Oxyz, cho hai vectơ $\overrightarrow{a}=\left(x;y;z\right)$ và $\overrightarrow{b}=\left(x^{\prime };y^{\prime };z^{\prime }\right)$.

a) Giải thích vì sao $\overrightarrow{i}.\overrightarrow{i}=1$ và $\overrightarrow{i}.\overrightarrow{j}=\overrightarrow{i}.\overrightarrow{k}=0$.

b) Sử dụng biểu diễn $\overrightarrow{a}=x\overrightarrow{i}+y\overrightarrow{j}+z\overrightarrow{k}$ để tính các tích vô hướng $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{i};\overrightarrow{a}.\overrightarrow{j}$ và $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{k}$.

c) Sử dụng biểu diễn $\overrightarrow{b}=x^{\prime }\overrightarrow{i}+y^{\prime }\overrightarrow{j}+z^{\prime }\overrightarrow{k}$ để tính các tích vô hướng $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}$.

Phương pháp giải:

Sử dụng kiến thức về công thức xác định tích vô hướng của hai vectơ trong không gian để tính: Trong không gian, cho hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ đều khác $\overrightarrow{0}$. Tích vô hướng của hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ là một số, kí hiệu là $\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}$, được xác định bởi công thức sau: $\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=\left|\overrightarrow{a}\right|\cdot \left|\overrightarrow{b}\right|\cdot \cos \left(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\right)$.

Sử dụng kiến thức về tích vô hướng của hai vectơ trong không gian để tính: Cho hai vectơ $\overrightarrow{a}$, $\overrightarrow{b}$ đều khác $\overrightarrow{0}$. Khi đó, $\overrightarrow{a}\mathrm{\perp }\overrightarrow{b}\iff \overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=0$

Lời giải chi tiết:

a) Ta có: $\overrightarrow{i}.\overrightarrow{i}=\left|\overrightarrow{i}\right|.\left|\overrightarrow{i}\right|.\cos 0^0={\left|\overrightarrow{i}\right|}^2=1$

Vì $\overrightarrow{i}\mathrm{\perp }\overrightarrow{j}\Rightarrow \overrightarrow{i}.\overrightarrow{j}=0;\overrightarrow{i}\mathrm{\perp }\overrightarrow{k}\Rightarrow \overrightarrow{i}.\overrightarrow{k}=0$

b) Ta có: $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{i}=\left(x\overrightarrow{i}+y\overrightarrow{j}+z\overrightarrow{k}\right)\overrightarrow{i}=x.{\overrightarrow{i}}^2+y\overrightarrow{.j}.\overrightarrow{i}+z.\overrightarrow{k}.\overrightarrow{i}=x$

$\overrightarrow{a}.\overrightarrow{j}=\left(x\overrightarrow{i}+y\overrightarrow{j}+z\overrightarrow{k}\right)\overrightarrow{j}=x\overrightarrow{i}.\overrightarrow{j}+y{\overrightarrow{j}}^2+z\overrightarrow{k}.\overrightarrow{j}=y$

$\overrightarrow{a}.\overrightarrow{k}=\left(x\overrightarrow{i}+y\overrightarrow{j}+z\overrightarrow{k}\right).\overrightarrow{k}=x\overrightarrow{i}.\overrightarrow{k}+y\overrightarrow{j}.\overrightarrow{k}+z.{\overrightarrow{k}}^2=z$

c) Ta có: $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=\left(x\overrightarrow{i}+y\overrightarrow{j}+z\overrightarrow{k}\right).\left(x^{\prime }\overrightarrow{i}+y^{\prime }\overrightarrow{j}+z^{\prime }\overrightarrow{k}\right)$

$=x{x}^{\prime }{\overrightarrow{i}}^2+x{y}^{\prime }.\overrightarrow{i}.\overrightarrow{j}+x{z}^{\prime }\overrightarrow{i}.\overrightarrow{k}+x^{\prime }y.\overrightarrow{i}.\overrightarrow{j}+y{y}^{\prime }.{\overrightarrow{j}}^2+y{z}^{\prime }\overrightarrow{j}.\overrightarrow{k}+z{x}^{\prime }.\overrightarrow{k}.\overrightarrow{i}+z{y}^{\prime }.\overrightarrow{k}\overrightarrow{j}+z{z}^{\prime }{\overrightarrow{k}}^2$

Mà $\overrightarrow{i}.\overrightarrow{k}=0;\overrightarrow{i}.\overrightarrow{j}=0;\overrightarrow{j}.\overrightarrow{k}=0$ nên: $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=x{x}^{\prime }+y{y}^{\prime }+z{z}^{\prime }$

LT3

Trả lời câu hỏi Luyện tập 3 trang 69 SGK Toán 12 Kết nối tri thức

Trong Ví dụ 3, tính ${\left(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\right)}^2$.

Phương pháp giải:

Sử dụng kiến thức hệ về biểu thức tọa độ của phép cộng hai vectơ, phép nhân một số với một vectơ, tích vô hướng của hai vectơ để tính: Trong không gian Oxyz, cho hai vectơ $\overrightarrow{a}=\left(x;y;z\right)$ và $\overrightarrow{b}=\left(x^{\prime };y^{\prime };z^{\prime }\right)$. Ta có:

+ $\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=\left(x+x^{\prime };y+y^{\prime };z+z^{\prime }\right)$

+ $k\overrightarrow{a}=\left(kx;ky;kz\right)$ với k là một số thực.

+ $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=x{x}^{\prime }+y{y}^{\prime }+z{z}^{\prime }$.

Lời giải chi tiết:

Ta có: ${\overrightarrow{a}}^2=1^2+4^2+2^2=21;{\overrightarrow{b}}^2={\left(-4\right)}^2+1^2+0=17;\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=0$

Do đó, ${\left(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\right)}^2={\overrightarrow{a}}^2+2.\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}+{\overrightarrow{b}}^2=21+2.0+17=38$

LT4

Trả lời câu hỏi Luyện tập 4 trang 70 SGK Toán 12 Kết nối tri thức

Trong không gian Oxyz, cho $A\left(0;2;1\right),B\left(3;-2;1\right)$ và $C\left(-2;5;7\right)$.

a) Tính chu vi của tam giác ABC.

b) Tính $\widehat{BAC}$.

Phương pháp giải:

a) Sử dụng kiến thức về độ dài đoạn thẳng trong không gian để tính: Nếu $A\left(x_A;y_A;z_A\right)$ và $B\left(x_B;y_B;z_B\right)$ thì $AB=\left|\overrightarrow{AB}\right|=\sqrt{{\left(x_B-x_A\right)}^2+{\left(y_B-y_A\right)}^2+{\left(z_B-z_A\right)}^2}$

b) Sử dụng kiến thức về cosin góc của 2 vectơ trong không gian để tính: Nếu $\overrightarrow{a}=\left(x;y;z\right)$ và $\overrightarrow{b}=\left(x^{\prime };y^{\prime };z^{\prime }\right)$ là hai vectơ khác $\overrightarrow{0}$ thì $\cos \left(\overrightarrow{a};\overrightarrow{b}\right)=\frac{\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}}{\left|\overrightarrow{a}\right|.\left|\overrightarrow{b}\right|}=\frac{x{x}^{\prime }+y{y}^{\prime }+z{z}^{\prime }}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}.\sqrt{x{}^{\prime 2}+y{}^{\prime 2}+z{}^{\prime 2}}}$

Lời giải chi tiết:

a) Ta có: $\overrightarrow{AB}\left(3;-4;0\right)\Rightarrow AB=\sqrt{3^2+{\left(-4\right)}^2}=5;$

$\overrightarrow{AC}\left(-2;3;6\right)\Rightarrow AC=\sqrt{{\left(-2\right)}^2+3^2+6^2}=7$

Vậy chu vi tam giác ABC là:

b) Vì $\cos \left(\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC}\right)=\frac{\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}}{\left|\overrightarrow{AB}\right|.\left|\overrightarrow{AC}\right|}=\frac{3.\left(-2\right)+\left(-4\right).3+0.6}{5.7}=\frac{-18}{35}\Rightarrow \cos \left(\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC}\right)\approx 120,9^0$

Nên $\widehat{BAC}={180}^0-120,9^0=59,1^0$.