Giải mục 1 trang 4,5,6 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức

HĐ1

Trả lời câu hỏi Hoạt động 1 trang 4 SGK Toán 12 Kết nối tri thức

Cho hai hàm số $f\left(x\right)=x^2+1$ và $F\left(x\right)=\frac{1}{3}{x}^3+x$, với $x\in \mathbb{R}$.

a) Tính đạo hàm của hàm số F(x).

b) F’(x) và f(x) có bằng nhau không?

Phương pháp giải:

Sử dụng kiến thức về đạo hàm để tính: ${\left(u+v\right)}^{\prime }=u^{\prime }+v^{\prime },{\left(x^{\alpha }\right)}^{\prime }=\alpha .x^{\alpha -1}\left(x>0\right),c^{\prime }=0$ với c là hằng số.

Lời giải chi tiết:

a) $F^{\prime }\left(x\right)={\left(\frac{1}{3}{x}^3+x\right)}^{\prime }=x^2+1$

b) $F^{\prime }\left(x\right)=f\left(x\right)$.

Câu 2

Trả lời câu hỏi Luyện tập 1 trang 5 SGK Toán 12 Kết nối tri thức

Hàm số nào dưới đây là một nguyên hàm của hàm số $f\left(x\right)=x+\frac{1}{x}$ trên khoảng $\left(0;+\mathrm{\infty }\right)$?

a) $F\left(x\right)=\frac{1}{2}{x}^2+\ln x$;

b) $G\left(x\right)=\frac{x^2}{2}-\ln x$.

Phương pháp giải:

Sử dụng kiến thức về khái niệm nguyên hàm của một hàm số để tìm nguyên hàm của f(x): Cho hàm số f(x) xác định trên một khoảng K (hoặc một đoạn, hoặc một nửa khoảng). Hàm số F(x) được gọi là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K nếu $F^{\prime }\left(x\right)=f\left(x\right)$ với mọi x thuộc K.

Lời giải chi tiết:

a) Ta có: $F^{\prime }\left(x\right)={\left(\frac{1}{2}{x}^2+\ln x\right)}^{\prime }=x+\frac{1}{x}$

Vì $F^{\prime }\left(x\right)=f\left(x\right)$ với mọi x thuộc $\left(0;+\mathrm{\infty }\right)$ nên F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên $\left(0;+\mathrm{\infty }\right)$.

b) $G^{\prime }\left(x\right)={\left(\frac{x^2}{2}-\ln x\right)}^{\prime }=x-\frac{1}{x}$

G(x) không phải là một nguyên hàm của f(x) trên $\left(0;+\mathrm{\infty }\right)$ vì với $x=1$ ta có:

$G^{\prime }\left(1\right)=0\ne 2=f\left(1\right)$.

HĐ2

Trả lời câu hỏi Hoạt động 2 trang 5 SGK Toán 12 Kết nối tri thức

a) Chứng minh rằng hàm số $F\left(x\right)=\frac{x^4}{4}$ là một nguyên hàm của hàm số $f\left(x\right)=x^3$ trên $\mathbb{R}$.

b) Hàm số $G\left(x\right)=\frac{x^4}{4}+C$ (với C là hằng số) có là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên $\mathbb{R}$ không? Vì sao?

Phương pháp giải:

Sử dụng kiến thức về khái niệm nguyên hàm của một hàm số để tìm nguyên hàm của f(x): Cho hàm số f(x) xác định trên một khoảng K (hoặc một đoạn, hoặc một nửa khoảng). Hàm số F(x) được gọi là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K nếu $F^{\prime }\left(x\right)=f\left(x\right)$ với mọi x thuộc K. 

Lời giải chi tiết:

a) Ta có: $F^{\prime }\left(x\right)=x^3=f\left(x\right)$ nên F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên $\mathbb{R}$.

b) Ta có: $G^{\prime }\left(x\right)=x^3=f\left(x\right)$ nên G(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên $\mathbb{R}$.

LT2

Trả lời câu hỏi Luyện tập 2 trang 6 SGK Toán 12 Kết nối tri thức

Tìm $\int x^{3}dx$

Phương pháp giải:

Sử dụng kiến thức về họ nguyên hàm của một hàm số để tính: Để tìm nguyên hàm của hàm số f(x) trên K, ta chỉ cần tìm một nguyên hàm F(x) của f(x) trên K và khi đó $\int f\left(x\right)dx=F\left(x\right)+C$, C là hằng số.

Lời giải chi tiết:

Vì ${\left(\frac{x^4}{4}\right)}^{\prime }=x^3$ nên $F\left(x\right)=\frac{x^4}{4}$ là một nguyên hàm của hàm số $f\left(x\right)=x^3$ trên $\mathbb{R}$.

Do đó, $\int x^{3}dx=\frac{x^4}{4}+C$