Giải mục 3 trang 52,53 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức

HĐ3

Trả lời câu hỏi Hoạt động 3 trang 52 SGK Toán 12 Kết nối tri thức

Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng (P), (Q) tương ứng có các vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n}=\left(A;B;C\right),\overrightarrow{n^{\prime }}=\left(A^{\prime };B^{\prime };C^{\prime }\right)$. Lấy các đường thẳng $\mathrm{\Delta }$, ${\mathrm{\Delta }}^{\prime }$ tương ứng có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{n},\overrightarrow{n^{\prime }}$ (H.5.36)

a) Góc giữa hai mặt phẳng (P) và (Q) và góc giữa hai đường thẳng $\mathrm{\Delta }$ và ${\mathrm{\Delta }}^{\prime }$ có mối quan hệ gì?

b) Tính côsin của góc giữa hai mặt phẳng (P) và (Q).

Phương pháp giải:

Sử dụng kiến thức về góc giữa hai mặt phẳng để tìm mối quan hệ: Góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng lần lượt vuông góc với hai mặt phẳng đó.

Sử dụng kiến thức về góc giữa hai đường thẳng để tính: Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng $\mathrm{\Delta }$ và ${\mathrm{\Delta }}^{\prime }$  tương ứng có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u},\overrightarrow{u^{\prime }}$ thì $\cos \left(\mathrm{\Delta },{\mathrm{\Delta }}^{\prime }\right)=\left|\cos \left(\overrightarrow{u},\overrightarrow{u^{\prime }}\right)\right|$.

Lời giải chi tiết:

a) Vì các đường thẳng $\mathrm{\Delta }$, ${\mathrm{\Delta }}^{\prime }$ tương ứng có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{n},\overrightarrow{n^{\prime }}$ nên đường thẳng $\mathrm{\Delta }$ vuông góc với mặt phẳng (P), đường thẳng ${\mathrm{\Delta }}^{\prime }$ vuông góc với mặt phẳng (Q).

Do đó, $\left(\left(P\right),\left(Q\right)\right)=\left(\mathrm{\Delta },{\mathrm{\Delta }}^{\prime }\right)$

b) Ta có: $\cos \left(\mathrm{\Delta },{\mathrm{\Delta }}^{\prime }\right)=\left|\cos \left(\overrightarrow{n},\overrightarrow{n^{\prime }}\right)\right|$ nên $\cos \left(\left(P\right),\left(Q\right)\right)=\cos \left(\mathrm{\Delta },{\mathrm{\Delta }}^{\prime }\right)=\left|\cos \left(\overrightarrow{n},\overrightarrow{n^{\prime }}\right)\right|$.

LT3

Trả lời câu hỏi Luyện tập 3 trang 52 SGK Toán 12 Kết nối tri thức

Trong không gian Oxyz, tính góc giữa hai mặt phẳng $\left(P\right):x-\sqrt{2}y+z-2=0$ và $\left(Oxz\right):y=0$.

Phương pháp giải:

Sử dụng kiến thức về góc giữa hai mặt phẳng để tính: Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng (P), (Q) tương ứng có các vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n}=\left(A;B;C\right),\overrightarrow{n^{\prime }}=\left(A^{\prime };B^{\prime };C^{\prime }\right)$. Khi đó, góc giữa (P) và (Q), kí hiệu là ((P), (Q)) được tính theo công thức:

$\cos \left(\left(P\right),\left(Q\right)\right)=\left|\cos \left(\overrightarrow{n},\overrightarrow{n^{\prime }}\right)\right|=\frac{\left|A{A}^{\prime }+B{B}^{\prime }+C{C}^{\prime }\right|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}.\sqrt{A{}^{\prime 2}+B{}^{\prime 2}+C{}^{\prime 2}}}$.

Lời giải chi tiết:

Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n}\left(1;-\sqrt{2};1\right)$, mặt phẳng (Oxz) có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n}\left(0;1;0\right)$. Ta có: $\cos \left(\left(P\right),\left(Q\right)\right)=\frac{\left|0.1-\sqrt{2}.1+1.0\right|}{\sqrt{0^2+0^2+1^2}.\sqrt{1^2+{\left(-\sqrt{2}\right)}^2+1^2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$

Do đó, $\left(\left(P\right),\left(Oxz\right)\right)={45}^0$.

VD

Trả lời câu hỏi Vận dụng trang 53 SGK Toán 12 Kết nối tri thức

Hãy trả lời câu hỏi đã được nêu ra trong tình huống mở đầu.

Phương pháp giải:

Sử dụng kiến thức về góc giữa hai mặt phẳng để tính: Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng (P), (Q) tương ứng có các vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n}=\left(A;B;C\right),\overrightarrow{n^{\prime }}=\left(A^{\prime };B^{\prime };C^{\prime }\right)$. Khi đó, góc giữa (P) và (Q), kí hiệu là ((P), (Q)) được tính theo công thức:

$\cos \left(\left(P\right),\left(Q\right)\right)=\left|\cos \left(\overrightarrow{n},\overrightarrow{n^{\prime }}\right)\right|=\frac{\left|A{A}^{\prime }+B{B}^{\prime }+C{C}^{\prime }\right|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}.\sqrt{A{}^{\prime 2}+B{}^{\prime 2}+C{}^{\prime 2}}}$

Lời giải chi tiết:

Ta có: $A\left(0;-2;0\right),C\left(0;2;0\right),B\left(2\sqrt{3};0;0\right),A^{\prime }\left(0;-2;7\right),C^{\prime }\left(0;2;5\right),B^{\prime }\left(2\sqrt{3};0;6\right)$

$\overrightarrow{AB}\left(2\sqrt{3};2;0\right),\overrightarrow{AC}\left(0;4;0\right);\overrightarrow{A^{\prime }{B}^{\prime }}\left(2\sqrt{3};2;-1\right),\overrightarrow{A^{\prime }{C}^{\prime }}\left(0;4;-2\right)$

$\left[\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right]=\left(\left|\begin{array}{cc}2& 0\\ 4& 0\end{array}\right|,\left|\begin{array}{cc}0& 2\sqrt{3}\\ 0& 0\end{array}\right|,\left|\begin{array}{cc}2\sqrt{3}& 2\\ 0& 4\end{array}\right|\right)=\left(0;0;8\sqrt{3}\right)$

$\left[\overrightarrow{A^{\prime }{B}^{\prime }},\overrightarrow{A^{\prime }{C}^{\prime }}\right]=\left(\left|\begin{array}{cc}2& -1\\ 4& -2\end{array}\right|,\left|\begin{array}{cc}-1& 2\sqrt{3}\\ -2& 0\end{array}\right|,\left|\begin{array}{cc}2\sqrt{3}& 2\\ 0& 4\end{array}\right|\right)=\left(0;4\sqrt{3};8\sqrt{3}\right)$

Mặt phẳng (ABC) có một vectơ pháp tuyến là: $\frac{1}{8\sqrt{3}}\left[\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right]=\left(0;0;1\right)$

Mặt phẳng (A’B’C’) có một vectơ pháp tuyến là: $\frac{1}{4\sqrt{3}}\left[\overrightarrow{A^{\prime }{B}^{\prime }},\overrightarrow{A^{\prime }{C}^{\prime }}\right]=\left(0;1;2\right)$

Do đó, $\cos \left(\left(ABC\right),\left(A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }\right)\right)=\frac{\left|0.0+0.1+1.2\right|}{\sqrt{0^2+0^2+1^2}.\sqrt{0^2+1^2+2^2}}=\frac{2\sqrt{5}}{5}$

$\Rightarrow \left(\left(ABC\right),\left(A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }\right)\right)\approx 26,6^o$

Vậy mái nhà nghiêng so với mặt sàn nhà một góc khoảng $26,1^o$.