Giải mục 2 trang 51 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức

HĐ2

Trả lời câu hỏi Hoạt động 2 trang 51 SGK Toán 12 Kết nối tri thức

Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng $\mathrm{\Delta }$ và mặt phẳng (P). Xét $\overrightarrow{u}=\left(a;b;c\right)$ là một vectơ chỉ phương của $\mathrm{\Delta }$ và $\overrightarrow{n}=\left(A;B;C\right)$ (với giá ${\mathrm{\Delta }}^{\prime }$) là một vectơ pháp tuyến của (P). (H.5.35)

a) Hãy tìm mối quan hệ giữa các góc $\left(\mathrm{\Delta },\left(P\right)\right)$ và $\left(\mathrm{\Delta },{\mathrm{\Delta }}^{\prime }\right)$.

b) Có nhận xét gì về mối quan hệ giữa $\sin \left(\mathrm{\Delta },{\mathrm{\Delta }}^{\prime }\right)$ và $\left|\cos \left(\overrightarrow{u},\overrightarrow{n}\right)\right|$?

Phương pháp giải:

Sử dụng kiến thức giá của vectơ để chứng minh: Đường thẳng đi qua điểm đầu và điểm cuối của vectơ được gọi là giá của vectơ đó.  

Lời giải chi tiết:

a) Mối quan hệ của góc $\left(\mathrm{\Delta },\left(P\right)\right)$ và $\left(\mathrm{\Delta },{\mathrm{\Delta }}^{\prime }\right)$ là: $\left(\mathrm{\Delta },\left(P\right)\right)={90}^0-\left(\mathrm{\Delta },{\mathrm{\Delta }}^{\prime }\right)$

b) Ta có: +) $\left(\mathrm{\Delta },\left(P\right)\right)={90}^0-\left(\mathrm{\Delta },{\mathrm{\Delta }}^{\prime }\right)={90}^0-\left(\overrightarrow{u},\overrightarrow{n}\right)$ với $\left(\overrightarrow{u},\overrightarrow{n}\right)\le {90}^o$

+) $\left(\mathrm{\Delta },\left(P\right)\right)={90}^0-\left(\mathrm{\Delta },{\mathrm{\Delta }}^{\prime }\right)={90}^0-\left[{180}^o-\left(\overrightarrow{u},\overrightarrow{n}\right)\right]=-{90}^o+\left(\overrightarrow{u},\overrightarrow{n}\right)$ với $\left(\overrightarrow{u},\overrightarrow{n}\right)>{90}^o$

 Suy ra, $\sin \left(\mathrm{\Delta },{\mathrm{\Delta }}^{\prime }\right)=\left|\cos \left(\overrightarrow{u},\overrightarrow{n}\right)\right|$.

LT2

Trả lời câu hỏi Luyện tập 2 trang 51 SGK Toán 12 Kết nối tri thức

Trong không gian Oxyz, tính góc giữa đường thẳng $\mathrm{\Delta }$ và mặt phẳng (P), với:

$\mathrm{\Delta }:\frac{x+2}{-1}=\frac{y-4}{2}=\frac{z+1}{1},\left(P\right):x-y+z-1=0$.

Phương pháp giải:

Sử dụng kiến thức về góc giữa đường thẳng và mặt phẳng để tính: Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng $\mathrm{\Delta }$ có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u}=\left(a;b;c\right)$ và mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}=\left(A;B;C\right)$.

Khi đó: $\sin \left(\mathrm{\Delta },\left(P\right)\right)=\left|\cos \left(\overrightarrow{u},\overrightarrow{n}\right)\right|=\frac{\left|aA+bB+cC\right|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}.\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$

Lời giải chi tiết:

Đường thẳng $\mathrm{\Delta }$ có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u}=\left(-1;2;1\right)$, mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}=\left(1;-1;1\right)$. Ta có: $\sin \left(\mathrm{\Delta },\left(P\right)\right)=\frac{\left|\left(-1\right).1+2.\left(-1\right)+1.1\right|}{\sqrt{{\left(-1\right)}^2+2^2+1^2}.\sqrt{1^2+{\left(-1\right)}^2+1^2}}=\frac{\sqrt{2}}{3}$

Do đó, góc giữa đường thẳng $\mathrm{\Delta }$ và mặt phẳng (P) khoảng $28,1^0$.