Giải mục 3 trang 28,29,30 SGK Toán 12 tập 1 - Chân trời sáng tạo

TH2

Trả lời câu hỏi Thực hành 2 trang 30 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo

Khảo sát và vẽ đồ thị của các hàm số sau:

a) $y=\frac{x+1}{x-1}$

b) $y=\frac{2x}{3x-1}$

c) $y=\frac{5+x}{2-x}$

Phương pháp giải:

Bước 1. Tìm tập xác định của hàm số

Bước 2. Xét sự biến thiên của hàm số

− Tìm đạo hàm y', xét dấu y', xác định khoảng đơn điệu của hàm số.

− Tìm các tiệm cận của đồ thị hàm số

− Lập bảng biến thiên của hàm số.

Bước 3. Vẽ đồ thị của hàm số

− Xác định các giao điểm của đồ thị với các trục toạ độ

− Vẽ các đường tiệm cận của đồ thị hàm số (nếu có).

− Vẽ đồ thị hàm số.

Lời giải chi tiết:

a) $y=\frac{x+1}{x-1}$

Tập xác định: $D=\mathbb{R}\mathrm{\setminus }\{1\}$

• Chiều biến thiên:

$y^{\prime }=\frac{-2}{{(x-1)}^2}\le 0\mathrm{\forall }x\in D$nên hàm số nghịch biến trên D

• Tiệm cận:

$\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}y=\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{x+1}{x-1}=1;\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}y=\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}\frac{x+1}{x-1}=1$ nên y = 1 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số

$\underset{x\to 1^{+}}{lim}y=\underset{x\to 1^{+}}{lim}\frac{x+1}{x-1}=+\mathrm{\infty };\underset{x\to 1^{-}}{lim}y=\underset{x\to 1^{-}}{lim}\frac{x+1}{x-1}=-\mathrm{\infty }$ nên x = 1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số

Bảng biến thiên:

Khi x = 0 thì y = -1 nên (0; -1) là giao điểm của đồ thị với trục Oy

Ta có: $y=0\iff \frac{x+1}{x-1}=0\iff x=-1$

Vậy đồ thị của hàm số giao với trục Ox tại điểm (-1; 0)

b) $y=\frac{2x}{3x-1}$

Tập xác định: $D=\mathbb{R}\mathrm{\setminus }\{\frac{1}{3}\}$

• Chiều biến thiên:

$y^{\prime }=\frac{-2}{{(3x-1)}^2}\le 0\mathrm{\forall }x\in D$ nên hàm số nghịch biến trên D

• Tiệm cận:

$\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}y=\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{2x}{3x-1}=\frac{2}{3};\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}y=\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}\frac{2x}{3x-1}=\frac{2}{3}$ nên y = $\frac{2}{3}$ là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số

$\underset{x\to {\frac{1}{3}}^{+}}{lim}y=\underset{x\to {\frac{1}{3}}^{+}}{lim}\frac{2x}{3x-1}=+\mathrm{\infty };\underset{x\to {\frac{1}{3}}^{-}}{lim}y=\underset{x\to {\frac{1}{3}}^{-}}{lim}\frac{2x}{3x-1}=-\mathrm{\infty }$ nên x = $\frac{1}{3}$ là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số

• Bảng biến thiên:

Khi x = 0 thì y = 0 nên (0; 0) là giao điểm của đồ thị với trục Oy

Ta có: $y=0\iff \frac{2x}{3x-1}=0\iff x=0$

Vậy đồ thị của hàm số giao với trục Ox tại điểm (0; 0)

c) $y=\frac{5+x}{2-x}$

Tập xác định: $D=\mathbb{R}\mathrm{\setminus }\{2\}$

• Chiều biến thiên:

$y^{\prime }=\frac{7}{{(2-x)}^2}\ge 0\mathrm{\forall }x\in D$ nên hàm số đồng biến trên D

• Tiệm cận:

$\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}y=\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{5+x}{2-x}=-1;\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}y=\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}\frac{5+x}{2-x}=-1$ nên y = -1 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số

$\underset{x\to 2^{+}}{lim}y=\underset{x\to 2^{+}}{lim}y=\frac{5+x}{2-x}=-\mathrm{\infty };\underset{x\to 2^{-}}{lim}y=\underset{x\to 2^{-}}{lim}\frac{2x}{3x-1}=+\mathrm{\infty }$ nên x = 2 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số

• Bảng biến thiên:

Khi x = 0 thì y = $\frac{5}{2}$ nên (0; $\frac{5}{2}$) là giao điểm của đồ thị với trục Oy

Ta có: $y=0\iff \frac{5+x}{2-x}=0\iff x=-5$

Vậy đồ thị của hàm số giao với trục Ox tại điểm (-5; 0)