Giải mục 1 trang 25 SGK Toán 12 tập 1 - Chân trời sáng tạo

KP1

Trả lời câu hỏi Khám phá 1 trang 25 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo

Cho hàm số $y=-x^2+4x-3$

a) Lập bảng biến thiên.

b) Vẽ đồ thị của hàm số.

Phương pháp giải:

Bước 1. Tìm tập xác định của hàm số

Bước 2. Xét sự biến thiên của hàm số

− Tìm đạo hàm y', xét dấu y', xác định khoảng đơn điệu, cực trị (nếu có) của hàm số.

− Tìm giới hạn tại vô cực, giới hạn vô cực của hàm số và các đường tiệm cận của đồ thị hàm số (nếu có).

− Lập bảng biến thiên của hàm số.

Bước 3. Vẽ đồ thị của hàm số

− Xác định các điểm cực trị (nếu có), giao điểm của đồ thị với các trục toạ độ

− Vẽ các đường tiệm cận của đồ thị hàm số (nếu có).

− Vẽ đồ thị hàm số.

Lời giải chi tiết:

a) Tập xác định: $D=\mathbb{R}$

• Chiều biến thiên:

$y^{\prime }=-2x+4=0\iff x=2$

Trên các khoảng ($-\mathrm{\infty }$; 2) thì y' > 0 nên hàm số đồng biến trên mỗi khoảng đó. Trên khoảng (2; $+\mathrm{\infty }$) thì y' < 0 nên hàm số nghịch biến trên khoảng đó.

• Cực trị:

Hàm số đạt cực đại tại x =2 và $y_{cd}=1$

• Các giới hạn tại vô cực:

$\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}y=\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}(-x^2+4x-3)=-\mathrm{\infty }$; $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}y=\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}(-x^2+4x-3)=+\mathrm{\infty }$

• Bảng biến thiên:

b) Khi x = 0 thì y = -3 nên (0; -3) là giao điểm của đồ thị với trục Oy

Ta có: $y=0\iff -x^2+4x-3=0\iff [\begin{array}{l}x=1\\ x=3\end{array}$

Vậy đồ thị của hàm số giao với trục Ox tại hai điểm (1; 0) và (3; 0)

Điểm (2; 1) là điểm cực đại của đồ thị hàm số