Giải bài tập 3 trang 13 SGK Toán 12 tập 1 - Cánh diều

Đề bài

Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số sau:
a) $y=-x^3+2x^2-3$ b) $y=x^4-2x^2+5$
c) $y=\frac{3x+1}{2-x}$ d) $y=\frac{x^2-2x}{x+1}$

Lời giải chi tiết

a) Tập xác định: $D=\mathbb{R}$.

Ta có: $y^{\prime }=-3x^2+4x$.

Nhận xét $y^{\prime }=0\iff [\begin{array}{l}x=0\\ x=\frac{4}{3}\end{array}$

Ta có bảng biến thiên sau:

Vậy hàm số đồng biến trên khoảng $\left(0;\frac{4}{3}\right)$ và nghịch biến trên khoảng $\left(-\mathrm{\infty };0\right)$ và $\left(\frac{4}{3};+\mathrm{\infty }\right)$.

b) Tập xác định: $D=\mathbb{R}$.

Ta có: $y^{\prime }=4x^3-4x$.

Nhận xét $y^{\prime }=0\iff [\begin{array}{l}x=0\\ x=\pm 1\end{array}$

Ta có bảng biến thiên sau:

Vậy hàm số đồng biến trên khoảng $\left(-1;0\right)$ và $\left(1;+\mathrm{\infty }\right)$ và nghịch biến trên khoảng $\left(-\mathrm{\infty };-1\right)$ và $\left(0;1\right)$.

c) Tập xác định: $D=\mathbb{R}\mathrm{\setminus }\left\{2\right\}$.

Ta có: $y^{\prime }=\frac{5}{{\left(2-x\right)}^2}$.

Nhận xét $y^{\prime }>0\mathrm{\forall }x\in D$

Ta có bảng biến thiên sau:

Vậy hàm số đồng biến trên khoảng $\left(-\mathrm{\infty };2\right)$ và $\left(2;+\mathrm{\infty }\right)$.

d) Tập xác định: $D=\mathbb{R}\mathrm{\setminus }\left\{-1\right\}$.

Ta có: $y^{\prime }=\frac{\left(2x-2\right)\left(x+1\right)-x^2+2x}{{\left(x+1\right)}^2}=\frac{x^2+2x-2}{{\left(x+1\right)}^2}$.

Nhận xét $y^{\prime }=0\iff [\begin{array}{l}x=-1+\sqrt{3}\\ x=-1-\sqrt{3}\end{array}$.

Ta có bảng biến thiên sau:

Vậy hàm số đồng biến trên khoảng $\left(-\mathrm{\infty };-1-\sqrt{3}\right)$ và $\left(-1+\sqrt{3};+\mathrm{\infty }\right)$ và nghịch biến trên khoảng $\left(-1-\sqrt{3};-1\right)$ và $\left(-1;-1+\sqrt{3}\right)$.