Giải mục 1 trang 17,18,19 SGK Toán 12 tập 2 - Cánh diều

HĐ1

Trả lời câu hỏi Hoạt động 1 trang 17 SGK Toán 12 Cánh diều

Cho hàm số $y=f(x)=x^2$ (Hình 4). Xét hình phẳng (được tô màu) gồm tất cả điểm M(x;y) trên mặt phẳng tọa độ sao cho $1\le x\le 2$ và $0\le y\le x^2$. Hình phẳng đó được gọi là hình thang cong AMNB giới hạn bởi đồ thị của hàm số $f(x)=x^2$, trục Ox và hai đường thẳng x = 1 và x = 2

Chia đoạn [1;2] thành n phần bằng nhau bởi các điểm chia: $x_0=1,x_1=1+\frac{1}{n},x_2=1+\frac{2}{n},...,x_{n-1}=1+\frac{n-1}{n},x_n=1+\frac{n}{n}=2$ (Hình 5)

a) Tính diện tích $T_0$ của hình chữ nhật dựng trên đoạn $[x_0;x_1]$ với chiều cao là $f(x_0)$

Tính diện tích $T_1$ của hình chữ nhật dựng trên đoạn $[x_1;x_2]$ với chiều cao là $f(x_1)$

Tính diện tích $T_2$ của hình chữ nhật dựng trên đoạn $[x_2;x_3]$ với chiều cao là $f(x_2)$

…

Tính diện tích $T_{n-1}$ của hình chữ nhật dựng trên đoạn $[x_{n-1};x_n]$ với chiều cao là $f(x_{n-1})$

b) Đặt $S_n=T_0+T_1+T_2+...+T_{n-1}$. Chứng minh rằng: $S_n=\frac{1}{n}[f(x_0)+f(x_1)+f(x_2)+...+f(x_{n-1})]$. Tổng $S_n$ gọi là tổng tích phân cấp n của hàm số $f(x)=x^2$ trên đoạn [1;2]

Phương pháp giải:

a) Áp dụng công thức tính diện tích hình chữ nhật

b) Biến đổi biểu thức cho thích hợp

Lời giải chi tiết:

a) $T_0=f(x_0).(x_1-x_0)=f(1).(x_1-1)$

$T_1=f(x_1).(x_2-x_1)$

$T_2=f(x_2).(x_3-x_2)$

…

$T_{n-1}=f(x_{n-1}).(x_n-x_{n-1})$
b) $T_0=f(x_0).(x_1-x_0)=f(x_0).(x_0+\frac{1}{n}-x_0)=\frac{f(x_0)}{n}$

$T_1=f(x_1).(x_2-x_1)=f(x_1).(x_1+\frac{1}{n}-x_1)=\frac{f(x_1)}{n}$

$T_2=f(x_2).(x_3-x_2)=f(x_2).(x_2+\frac{1}{n}-x_2)=\frac{f(x_2)}{n}$

…

$T_{n-1}=f(x_{n-1}).(x_n-x_{n-1})=f(x_{n-1}).(x_{n-1}+\frac{1}{n}-x_{n-1})=\frac{f(x_{n-1})}{n}$

Vậy $S_n=T_0+T_1+T_2+...+T_{n-1}=\frac{1}{n}[f(x_0)+f(x_1)+f(x_2)+...+f(x_{n-1})]$

HĐ2

Trả lời câu hỏi Hoạt động 2 trang 20 SGK Toán 12 Cánh diều

Cho hàm số $f(x)=x^2$

a) Chứng tỏ $F(x)=\frac{x^3}{3}$, $G(x)=\frac{x^3}{3}+C$ là các nguyên hàm của hàm số $f(x)=x^2$

b) Chứng minh rằng $F(b)-F(a)=G(b)-G(a)$, tức là hiệu số $F(b)-F(a)$ không phụ thuộc việc chọn nguyên hàm

Phương pháp giải:

Cho hàm số f(x) xác định trên K. Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f(x) trên K nếu F’(x) = f(x) với mọi x thuộc K

Lời giải chi tiết:

a) $F^{\prime }(x)=G^{\prime }(x)=x^2=f(x)$ nên $F(x)=\frac{x^3}{3}$, $G(x)=\frac{x^3}{3}+C$ là các nguyên hàm của hàm số $f(x)=x^2$

b) $F(b)-F(a)=\frac{b^3}{3}-\frac{a^3}{3}$

$G(b)-G(a)=\frac{b^3}{3}+C-\frac{a^3}{3}-C=\frac{b^3}{3}-\frac{a^3}{3}$

=> $F(b)-F(a)=G(b)-G(a)$