Bài 1.56 trang 36 SBT giải tích 12

Khảo sát và vẽ đồ thị các hàm số:

LG a

$y=2-3x-x^2$

Phương pháp giải:

- Tìm TXĐ.

- Xét sự biến thiên.

+ Tìm các giới hạn tại vô cực.

+ Tìm khoảng đồng biến, nghịch biến.

+ Tìm cực trị (nếu có).

+ Lập bảng biến thiên.

- Vẽ đồ thị hàm số.

Giải chi tiết:

* TXĐ: $D=\mathbb{R}$.

* Sự biến thiên:

- Giới hạn:

$\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}y=\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\left(2-3x-x^2\right)=-\mathrm{\infty };$ $\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}y=\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}\left(2-3x-x^2\right)=-\mathrm{\infty }$

- Chiều biến thiên: $y^{\prime }=-3-2x=0\iff x=-{\displaystyle \frac{3}{2}}$

Có $y^{\prime }>0\iff x<-{\displaystyle \frac{3}{2}}$ và $y^{\prime }<0\iff x>-{\displaystyle \frac{3}{2}}$ nên:

Hàm số đồng biến trên khoảng $\left(-\mathrm{\infty };-{\displaystyle \frac{3}{2}}\right)$ và nghịch biến trên khoảng $\left(-{\displaystyle \frac{3}{2}};+\mathrm{\infty }\right)$.

- Cực trị: Hàm số đạt cực đại tại điểm $x=-{\displaystyle \frac{3}{2}}$ và $y_{CD}={\displaystyle \frac{17}{4}}$.

- Bảng biến thiên:

* Đồ thị:

- Cắt trục $Oy$ tại điểm $\left(0;2\right)$ và cắt trục $Ox$ tại hai điểm phân biệt.

- Là parabol nhận đường thẳng $x=-{\displaystyle \frac{3}{2}}$ là trục đối xứng.

- Vẽ đồ thị:

LG b

$y=x^3-x^2+x$

Phương pháp giải:

- Tìm TXĐ.

- Xét sự biến thiên.

+ Tìm các giới hạn tại vô cực.

+ Tìm khoảng đồng biến, nghịch biến.

+ Tìm cực trị (nếu có).

+ Lập bảng biến thiên.

- Vẽ đồ thị hàm số.

Giải chi tiết:

* TXĐ: $D=\mathbb{R}$.

* Sự biến thiên:

- Giới hạn:

$\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}y=\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\left(x^3-x^2+x\right)=+\mathrm{\infty };$ $\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}y=\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}\left(x^3-x^2+x\right)=-\mathrm{\infty }$

- Chiều biến thiên: $y^{\prime }=3x^2-2x+1>0,\mathrm{\forall }x\in \mathbb{R}$.

Do đó, hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$.

- Cực trị: Hàm số không có cực trị.

- Bảng biến thiên:

* Đồ thị:

- Cắt trục $Oy$ và $Ox$ tại điểm $\left(0;0\right)$.

- Có $y^{″}=6x-2=0\iff x={\displaystyle \frac{1}{3}}$ $\Rightarrow y={\displaystyle \frac{7}{27}}$ nên điểm uốn $U\left({\displaystyle \frac{1}{3}};{\displaystyle \frac{7}{27}}\right)$.

- Đi qua các điểm $\left(1;1\right)$, $\left(-1;-3\right)$

- Vẽ đồ thị:

LG câu c

$y=-x^4+2x^3+3$

Phương pháp giải:

- Tìm TXĐ.

- Xét sự biến thiên.

+ Tìm các giới hạn tại vô cực.

+ Tìm khoảng đồng biến, nghịch biến.

+ Tìm cực trị (nếu có).

+ Lập bảng biến thiên.

- Vẽ đồ thị hàm số.

Giải chi tiết:

* TXĐ: $D=\mathbb{R}$.

* Sự biến thiên:

- Giới hạn:

$\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}y=\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\left(-x^4+2x^3+3\right)=-\mathrm{\infty };$ $\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}y=\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}\left(-x^4+2x^3+3\right)=-\mathrm{\infty };$

- Chiều biến thiên: $y^{\prime }=-4x^3+6x^2=0\iff [\begin{array}{l}x=0\\ x={\displaystyle \frac{3}{2}}\end{array}$.

Có $y^{\prime }>0\iff x<{\displaystyle \frac{3}{2}}$ và $y^{\prime }<0\iff x>{\displaystyle \frac{3}{2}}$ nên:

Hàm số đồng biến trên khoảng $\left(-\mathrm{\infty };{\displaystyle \frac{3}{2}}\right)$ và nghịch biến trên khoảng $\left({\displaystyle \frac{3}{2}};+\mathrm{\infty }\right)$.

- Cực trị: Hàm số đạt cực đại tại điểm $x={\displaystyle \frac{3}{2}}$ và $y_{CD}={\displaystyle \frac{75}{16}}$, không có cực tiểu.

- Bảng biến thiên:

* Đồ thị:

- Cắt trục $Oy$ tại điểm $\left(0;3\right)$, cắt $Ox$ tại hai điểm phân biệt, trong đó có điểm $\left(-1;0\right)$.

- Đi qua điểm $\left(1;4\right)$.

- Vẽ đồ thị:

[hoctot.me - Trợ lý học tập AI]