Bài 1.81 trang 41 SBT giải tích 12

Cho hàm số $y={\displaystyle \frac{3(x+1)}{x-2}}$

LG a

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị $\left(C\right)$ của hàm số.

Phương pháp giải:

Khảo sát tóm tắt:

- Tìm TXĐ.

- Xét sự biến thiên.

- Vẽ đồ thị.

Lời giải chi tiết:

TXĐ: $D=\mathbb{R}\mathrm{\setminus }\left\{2\right\}$.

Có $y^{\prime }={\displaystyle \frac{-9}{{\left(x-2\right)}^2}}<0,\mathrm{\forall }x\ne 2$ nên hàm số nghịch biến trên các khoảng $\left(-\mathrm{\infty };2\right)$ và $\left(2;+\mathrm{\infty }\right)$ và không có cực trị.

TCĐ: $x=2$ và TCN $y=3$.

Bảng biến thiên:

Đồ thị:

LG b

Viết phương trình các đường thẳng đi qua $O\left(0;0\right)$ và tiếp xúc với $\left(C\right)$.

Phương pháp giải:

- Viết dạng phương trình tiếp tuyến tại điểm $M_0\left(x_0;y_0\right)$ theo công thức $y=y^{\prime }\left(x_0\right)\left(x-x_0\right)+y_0$.

- Cho tiếp tuyến đi qua điểm $O\left(0;0\right)$ tìm $x_0$, từ đó suy ra $y_0$ và viết phương trình.

Lời giải chi tiết:

Ta có: $y^{\prime }={\displaystyle \frac{-9}{{\left(x-2\right)}^2}},\mathrm{\forall }x\ne 2$

Phương trình tiếp tuyến tại điểm $M_0\left(x_0;y_0\right)$ là: $y-y_0=y^{\prime }\left(x_0\right)\left(x-x_0\right)$

Trong đó $y^{\prime }(x_0)={\displaystyle \frac{-9}{{(x_0-2)}^2}}$.

Khi đó $y=-{\displaystyle \frac{9}{{(x_0-2)}^2}}(x-x_0)+{\displaystyle \frac{3(x_0+1)}{x_0-2}}$

Tiếp tuyến đi qua $O\left(0;0\right)$ $\iff {\displaystyle \frac{9x_0}{{(x_0-2)}^2}}+{\displaystyle \frac{3(x_0+1)}{x_0-2}}=0$

$\begin{array}{l}\iff \frac{9x_0+3\left(x_0+1\right)\left(x_0-2\right)}{{\left(x_0-2\right)}^2}=0\\ \Rightarrow 9x_0+3\left(x_0+1\right)\left(x_0-2\right)=0\\ \iff 9x_0+3\left(x_0^2-x_0-2\right)=0\\ \iff 9x_0+3x_0^2-3x_0-6=0\\ \iff 3x_0^2+6x_0-6=0\\ \iff [\begin{array}{c}{x}_0=-1-\sqrt{3}\Rightarrow y_0=\frac{-3+3\sqrt{3}}{2}\\ x_0=-1+\sqrt{3}\Rightarrow y_0=\frac{-3-3\sqrt{3}}{2}\end{array}\end{array}$

+) Tại $M_1\left(-1+\sqrt{3};\frac{-3-3\sqrt{3}}{2}\right)$ ta có phương trình tiếp tuyến: $y=-{\displaystyle \frac{3}{2}}\left(2+\sqrt{3}\right)x$

+) Tại $M_1\left(-1-\sqrt{3};\frac{-3+3\sqrt{3}}{2}\right)$ ta có phương trình tiếp tuyến: $y=-{\displaystyle \frac{3}{2}}(2-\sqrt{3})x$.

Chú ý:

Cách khác:

Phương trình đường thẳng đi qua gốc tọa độ $O$ có dạng $y=kx$.

Để xác định tọa độ tiếp điểm của hai đường: $y={\displaystyle \frac{3(x+1)}{x-2}}$ và $y=kx$, ta giải hệ:

$\{\begin{array}{l}{\displaystyle \frac{3(x+1)}{x-2}}=kx\\ -{\displaystyle \frac{9}{{(x-2)}^2}}=k\end{array}$$\iff \{\begin{array}{l}{\displaystyle \frac{3(x+1)}{x-2}}+{\displaystyle \frac{9x}{{(x-2)}^2}}=0\\ -{\displaystyle \frac{9}{{(x-2)}^2}}=k\end{array}$

Giải phương trình thứ nhất ta được: $x=-1\pm \sqrt{3}$

Thay vào phương trình thứ hai ta có: $k_1=-{\displaystyle \frac{3}{2}}(2+\sqrt{3});k_2=-{\displaystyle \frac{3}{2}}(2-\sqrt{3})$

Từ đó có hai phương trình tiếp tuyến là: $y=-{\displaystyle \frac{3}{2}}(2+\sqrt{3})x$ và $y=-{\displaystyle \frac{3}{2}}(2-\sqrt{3})x$

LG c

Tìm tất cả các điểm trên $\left(C\right)$ có tọa độ là các số nguyên.

Phương pháp giải:

- Viết lại hàm số về dạng $y=3+{\displaystyle \frac{9}{x-2}}$.

- Từ điều kiện $x,y\in \mathbb{Z}$, tìm $x$ suy ra $y$ và kết luận.

Lời giải chi tiết:

Ta có: $y=\frac{3(x+1)}{x-2}=\frac{3x+3}{x-2}=\frac{3x-6+9}{x-2}$ $=\frac{3x-6}{x-2}+\frac{9}{x-2}=3+\frac{9}{x-2}$

Để $M(x,y)\in (C)$ có tọa độ nguyên thì  $\{\begin{array}{l}x\in \mathbb{Z}\\ {\displaystyle \frac{9}{x-2}}\in \mathbb{Z}\end{array}$$\Rightarrow \left(x-2\right)\in U\left(9\right)=\left\{\pm 1;\pm 3;\pm 9\right\}$

$\Rightarrow x\in \left\{1;3;-1;5;-7;11\right\}$.

Do đó, ta có $6$ điểm trên $\left(C\right)$ có tọa độ nguyên là: $\left(1;-6\right),\left(3;12\right),\left(-1;0\right),$ $\left(5;6\right),\left(-7;2\right),\left(11;4\right)$.

[hoctot.me - Trợ lý học tập AI]